8.2数列的求和与放缩

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讲义正文

数列的求和与放缩

A 组习题

习$\displaystyle \quad$题

A组

解答下述问题： 1. 已知数列$\displaystyle \left \{ a_n \right \}$满足$\displaystyle a_1=2,a_2=8,a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$。证明$\displaystyle \left \{ a_{n+1}-2a_n \right \}$为等比数列，并求$\displaystyle \left \{ a_n \right \}$的通项公式；
1. 已知数列$\displaystyle \left \{ b_n \right \}$满足$\displaystyle b_1=1,\frac{1}{S_n}=\frac{2}{b_n}-\frac{2}{b_{n+1}}$，其中$\displaystyle S_n$为数列$\displaystyle \left \{ b_n \right \}$的前$\displaystyle n$项和。求数列$\displaystyle \left \{ b_n \right \}$的通项公式；
2. 【2011安徽理18文20（1）】在数$\displaystyle 1$和$\displaystyle 100$之间插入$\displaystyle n$个实数，使得这$\displaystyle n+2$个数构成递增的等比数列，将这$\displaystyle n+2$个数的乘积记作$\displaystyle T_n$，再令$\displaystyle a_n=\lg T_n,n\geqslant 1$。求数列$\displaystyle \left \{ a_n\right \}$的通项公式；
3. 【2006江西文22（1）】 已知正项数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 满足: $\displaystyle a_1 = 3$, 且 $\displaystyle \frac{2a_{n+1} - a_n}{2a_n - a_{n+1}} = a_n a_{n+1}$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$，求数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的通项公式；
【2019天津理19】已知$\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$的通项公式分别为$\displaystyle a_n=3n+1,b_n=3\times 2^n$。数列 $\displaystyle \{c_n\}$ 满足 $$\displaystyle c_1=1, c_n=\begin{cases}1,&2^k<n<2^{k+1},\\b_k,&n=2^k,\end{cases} \text{其中} k\in\mathbb{N}^*$$ 求数列 $\displaystyle \{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式与$\displaystyle \sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i$。
【2015安徽理18】 证明: $$\displaystyle (\frac{1}{2})^2(\frac{3}{4})^2\cdots (\frac{2n-1}{2n})^2\geqslant \frac{1}{4n}$$
【2006安徽21】数列$\displaystyle \left \{ a_n \right \}$的前项和为$\displaystyle S_n$，已知$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},S_n=n^2a_n-n(n-1),n=1,2,\cdots$。

（1）写出$\displaystyle S_n$与$\displaystyle S_{n-1}$的递推关系式，并求$\displaystyle S_n$关于$\displaystyle n$的表达式；

（2）设$\displaystyle f_n(x)=\frac{S_n}{n}x^{n+1},b_n=f'_n(p),(p\in\mathbb{R})$，求数列$\displaystyle \left \{ b_n \right \}$的前项和$\displaystyle T_n$。 5. 【2006江西文22】 已知数列 $\displaystyle \{a_n\}$满足$\displaystyle a_n-\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{3}(n\in\mathbb{N^*})$。设 $$\displaystyle S_n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2,T_n = \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \cdots + \frac{1}{a_n^2}$$求 $\displaystyle S_n + T_n$, 并确定最小正整数 $\displaystyle n$, 使 $\displaystyle S_n + T_n$ 为整数。 6. 【2009广东理21】 已知曲线 $\displaystyle C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0$ ($\displaystyle n=1,2,\cdots$). 从点 $\displaystyle P(-1,0)$ 向曲线 $\displaystyle C_n$ 引斜率为 $\displaystyle k_n$ ($\displaystyle k_n>0$) 的切线 $\displaystyle l_n$, 切点为 $\displaystyle P_n(x_n,y_n)$。证明: $$\displaystyle x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}} < \sqrt{2}\sin\frac{x_n}{y_n}$$
答案

新答案（来源：321-340已有结论放缩与数列不等式.md）： 1. $\displaystyle \sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{2n+1}{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，$\displaystyle \sqrt2\sin\frac{x_n}{y_n}=\sqrt2\sin\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$。
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 新答案（来源：321-340已有结论放缩与数列不等式.md）：
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1. 令$\displaystyle C_n$圆心为$\displaystyle D_n\left(n,0\right)$，依题意，$\displaystyle P_nP\perp P_nD_n$，进而$\displaystyle \frac{y_n}{x_n+1}\cdot\frac{y_n}{x_n-n}=-1$。
1. 【2007浙江理21】已知数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 中的相邻两项 $\displaystyle a_{2k-1},a_{2k}$ 是关于 $\displaystyle x$ 的方程 $\displaystyle x^2 - (3k+2^k)x + 3k \cdot 2^k = 0$ 的两个根, 且 $\displaystyle a_{2k-1} \leqslant a_{2k}$ ($\displaystyle k=1,2,3,\cdots$)。
2. 求数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的前 $\displaystyle 2n$ 项和 $\displaystyle S_{2n}$；
3. 记 $\displaystyle f(n) = \frac{1}{2}\left(\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3\right),\quad T_n = \frac{(-1)^{f(2)}}{a_1a_2} + \frac{(-1)^{f(3)}}{a_3a_4} + \frac{(-1)^{f(4)}}{a_5a_6} + \cdots + \frac{(-1)^{f(n+1)}}{a_{2n-1}a_{2n}}$
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求证: $\displaystyle \frac{1}{6} \leqslant T_n \leqslant \frac{5}{24}$。
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  1. 【2026“神算杯一模”（A卷）（网络联考）18】已知数列$\displaystyle \left \{ a_n \right \}$的通项公式为$\displaystyle a_n=n\cdot 2^n$，记$\displaystyle S_n(1)=\sum_{i=2}^{n}a_i$并规定$\displaystyle S_1(1)=0$，且对任意的$\displaystyle k\in\mathbb{N^*},S_n(k+1)=\sum_{i=1}^{n}S_i(k)-a_{k+1}$。
    1. 求$\displaystyle S_n(1),S_n(2)$；
    2. 设常数$\displaystyle t\in\mathbb{N^*}$，证明：对任意的$\displaystyle n\in\mathbb{N^*},\sum_{i=1}^{t}S_n(i)>-4^t$。
答案

新答案（来源：321-340已有结论放缩与数列不等式.md）： 1. 问的背景是点火公式，形如$\displaystyle \frac{1\cdot3\cdots\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdots2n}$的分式，我们可以利用$\displaystyle \left(2n-1\right)\left(2n+1\right)<4n^2$来进行放缩：
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 新答案（来源：321-340已有结论放缩与数列不等式.md）：
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1. 由$\displaystyle \left(1\right)$问可知$\displaystyle b_n=f\left(n\right)=\ln\left(1+n\right)-n$，$\displaystyle a_n=n$。
1. 【2008福建理22】已知函数 $\displaystyle f(x) = \ln(1+x) - x$。记 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,\pi]$ ($\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$) 上的最小值为 $\displaystyle b_n$, 令 $\displaystyle a_n = \ln(1+n) - b_n$。
2. 如果对一切 $\displaystyle n$, 不等式 $\displaystyle \sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立, 求实数 $\displaystyle c$ 的取值范围；
3. 求证: $$\displaystyle \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \cdots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n+1} - 1$$
答案

新答案（来源：321-340已有结论放缩与数列不等式.md）： 1. $\displaystyle f'\left(x\right)=-\frac{x}{1+x}\left(x>-1\right)$。
1. 【2009天津理22】 已知等差数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的公差为 $\displaystyle d$ ($\displaystyle d \neq 0$), 等比数列 $\displaystyle \{b_n\}$ 的公比为 $\displaystyle q$ ($\displaystyle q>1$). 设 $\displaystyle S_n = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$, $\displaystyle T_n = a_1b_1 - a_2b_2 + \cdots + (-1)^{n-1}a_nb_n$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$。
2. 若 $\displaystyle b_1=1$, 证明： $$\displaystyle (1-q)S_n - (1+q)T_n = \frac{2dq(1-q^{2n})}{1-q^2},n \in \mathbb{N}^*$$
3. 若正整数 $\displaystyle n$ 满足 $\displaystyle 2 \leqslant n \leqslant q$, 设 $\displaystyle k_1,k_2,\cdots,k_n$ 和 $\displaystyle l_1,l_2,\cdots,l_n$ 是 $\displaystyle 1,2,\cdots,n$ 的两个不同的排列, $\displaystyle c_1 = a_{k_1}b_1 + a_{k_2}b_2 + \cdots + a_{k_n}b_n$, $\displaystyle c_2 = a_{l_1}b_1 + a_{l_2}b_2 + \cdots + a_{l_n}b_n$, 证明 $\displaystyle c_1 \neq c_2$.
4. 【2010天津理22】 在数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 中, $\displaystyle a_1=0$, 且对任意 $\displaystyle k \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$ 成等差数列, 其公差为 $\displaystyle d_k$。
5. 若 $\displaystyle d_k=2k$, 证明 $\displaystyle a_{2k},a_{2k+1},a_{2k+2}$ 成等比数列 ($\displaystyle k \in \mathbb{N}^*$)；
6. 若对任意 $\displaystyle k \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle a_{2k},a_{2k+1},a_{2k+2}$ 成等比数列, 其公比为 $\displaystyle q_k$： 1. 设 $\displaystyle q_1 \neq 1$. 证明 $\displaystyle \left\{\frac{1}{q_k-1}\right\}$ 是等差数列；
  1. 若 $\displaystyle a_2=2$, 证明 $\displaystyle \frac{3}{2}<2n-\sum_{k=2}^n \frac{k^2}{a_k} \leqslant 2$ ($\displaystyle n \geqslant 2$)。

B 组习题

B组

    1. 求和：$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^22^k$$

【2011安徽理18文20】求和$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\tan (k+2)\cdot \tan (k+3)$$ ??? answer "答案"
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利用
$$\displaystyle \tan1=\tan\left(\left(k+1\right)-k\right)=\frac{\tan\left(k+1\right)-\tan k}{1+\tan\left(k+1\right)\cdot\tan k},$$
得
$$\displaystyle \tan\left(k+1\right)\cdot\tan k=\frac{\tan\left(k+1\right)-\tan k}{\tan1}-1.$$

所以
$$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=3}^{n+2}\tan\left(k+1\right)\cdot\tan k\\ &=\sum_{k=3}^{n+2}\left(\frac{\tan\left(k+1\right)-\tan k}{\tan1}-1\right)\\ &=\frac{\tan\left(n+3\right)-\tan3}{\tan1}-n. \end{aligned}$$
```
1. 【2020天津19】已知数列$\displaystyle \{c_n\}$的通项公式为 $$\displaystyle c_n=\begin{cases} \frac{(3n-2)\cdot 2^{n-1}}{n(n+2)}& n\text{为奇数}, \\ \frac{n-1}{2^n}& n\text{为偶数}. \end{cases}$$ 求$\displaystyle \left \{ c_n \right \}$的前$\displaystyle 2n$项和。
答案

评：在\textbf{【2018天津理18】中已经考察过该裂项技巧。

【2018天津理18】已知$\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$的通项公式分别为$\displaystyle a_n=2^{n-1},b_n=n$，数列$\displaystyle \{a_n\}$的前$\displaystyle n$项和为$\displaystyle S_n$。求数列$\displaystyle \left \{ S_n \right \}$的前$\displaystyle n$项和$\displaystyle T_n$，并证明：$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2$$
1. 【2025天津19】已知$\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$的通项公式分别为$\displaystyle a_n=3n-1,b_n=2^n$，设 $$\displaystyle T_n=\left \{ p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots p_na_nb_n\mid p_1,p_2,\cdots ,p_n\in \{0,1\} \right \}$$
2. 求证：对任意实数$\displaystyle t\in T_n$，均有$\displaystyle t<a_{n+1}b_{n+1}$；
3. 求$\displaystyle T_n$中所有元素之和。
4. 【2011天津理20】已知数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 与 $\displaystyle \{b_n\}$ 满足: $\displaystyle b_n a_n+a_{n+1}+b_{n+1}a_{n+2}=0,b_n=\frac{3+(-1)^n}{2}$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$, 且 $\displaystyle a_1=2,a_2=4$。
5. 求 $\displaystyle a_3,a_4,a_5$；
6. 设 $\displaystyle c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1},n \in \mathbb{N}^*$, 证明: $\displaystyle \{c_n\}$ 是等比数列；
7. 设 $\displaystyle S_k=a_2+a_4+\cdots+a_{2k},k \in \mathbb{N}^*$, 证明: $\displaystyle \sum_{k=1}^{4n}\frac{S_k}{a_k}<\frac{7}{6}$ ($\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$)。

8.2数列的求和与放缩

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数列的求和与放缩

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