2.3证明不等式的基本方法

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讲义正文

证明不等式的基本方法

比较法

包括作商法与作差法，其原理很简单，此处略去。

反证法

在第一章谈了，此处略去。

放缩法

数学归纳法

考虑证明 $\(\displaystyle -1+3-5+\cdots+(-1)^n(2n-1) = (-1)^n n.\)$

这个问题的特点是：要证等式在 \(\displaystyle n\) 为任意正整数时都成立.虽然我们可以验证 \(\displaystyle n=1, 2, 3, 4, 5, \cdots\) 甚至 \(\displaystyle n=1000, 100000, \cdots\) 时该等式成立,但正整数有无限多个,无法对它们一一验证.于是我们想要寻找一种用有限个步骤,就能处理完无限多个对象的方法.

或许你听说过多米诺骨牌，在玩骨牌时，如何它们全部倒下呢？我们只需在摆放骨牌时保证：对任意两块相邻的骨牌,若前一块倒下,则一定导致后一块也倒下.这样，只要推倒第1块骨牌就能使所有骨牌都倒下了。

可以验证,当 \(\displaystyle n=1\) 时,等式 \(\displaystyle (*)\) 成立.试想,若从 “\(\displaystyle n=k\) 时等式 \(\displaystyle (*)\) 成立” 能推出 “\(\displaystyle n=k+1\) 时等式 \(\displaystyle (*)\) 也成立”,那么就可以建立一种像推多米诺骨牌那样的自动递推关系.

于是我们得到了数学归纳法\footnote{此处讲的是第一类数学归纳法。}的基本流程。现要证明对任意正整数\(\displaystyle n\geqslant n_0\),命题\(\displaystyle P(n)\)成立，如果可以完成以下两步：

（1）奠基（Basis）：证明命题\(\displaystyle P(n_0)\)成立；

（2）证明：若 命题\(\displaystyle P(k)\)成立,则命题\(\displaystyle P(k+1)\)也成立.

那么根据数学归纳法，我们就完成了原命题的证明。

在证明：

（1）与无穷多个正整数相关的命题；

（2）具有递推，递归结构的命题

时,使用数学归纳法可能会收到较好的效果.

问题

证明下述命题：

（1）对任意正整数\(\displaystyle n\),\(\displaystyle 6\mid n^3+5n\).

（2）对任意正整数\(\displaystyle n\)，\(\displaystyle x+y\mid x^{2n-1}+y^{2n-1}\)

（3）对任意不小于5的正整数，有\(\displaystyle n^2 < 2^n\)

（4）对任意正整数\(\displaystyle n\)，\(\displaystyle |\sin n\theta| \leqslant n|\sin \theta|\)

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

A1组

1. 【2008 课标全国文 7 理 6】已知 \(\displaystyle a_1 > a_2 > a_3 > 0\),则使得 \(\displaystyle (1-a_i x)^2 < 1 (i=1,2,3)\) 都成立的 \(\displaystyle x\) 的取值范围是

   • \(\displaystyle (0, \frac{1}{a_1})\)
   • \(\displaystyle (0, \frac{2}{a_1})\)
   • \(\displaystyle (0, \frac{1}{a_3})\)
   • \(\displaystyle (0, \frac{2}{a_3})\)

   ??? answer "答案"
   
   B.
           由于 $\displaystyle a_i>0$，对每个 $\displaystyle i$ 有
           $$\displaystyle (1-a_ix)^2<1 \Longleftrightarrow -1<1-a_ix<1 \Longleftrightarrow 0<a_ix<2 \Longleftrightarrow 0<x<\frac2{a_i}.$$
           三个不等式同时成立时，
           $$\displaystyle x\in\bigcap_{i=1}^3\left(0,\frac2{a_i}\right).$$
           因为 $\displaystyle a_1>a_2>a_3>0$，所以 $\displaystyle \frac{2}{a_1}<\frac{2}{a_2}<\frac{2}{a_3}$，交集为
           $\displaystyle \left(0,\frac2{a_1}\right)$，故选 B。
   
       \par
        新答案（来源：1.2 不等式.md）：
   B
   
   【解题思路】由$\displaystyle \left(1-a_ix\right)^2<1\left(i=1,2,3\right)$，得
   $$\displaystyle a_ix\left(a_ix-2\right)<0,$$
   解得$\displaystyle 0<x<\frac{2}{a_i}\left(i=1,2,3\right)$．
   
   再求交集：
   $$\displaystyle \left\{x\left|0<x<\frac{2}{a_1}\right.\right\}\cap\left\{x\left|0<x<\frac{2}{a_2}\right.\right\}\cap\left\{x\left|0<x<\frac{2}{a_3}\right.\right\}=\left\{x\left|0<x<\frac{2}{a_1}\right.\right\}.$$
   【实测数据】本题理科难度$\displaystyle 0.354$，区分度$\displaystyle 0.285$．文科难度$\displaystyle 0.326$，区分度$\displaystyle 0.199$．
   
       \par
        新答案（来源：1.2 不等式.md）：
   A
   
   【解题思路】"$\displaystyle a<\frac{1}{b}$或$\displaystyle b>\frac{1}{a}$"等价于"$\displaystyle \frac{ab-1}{b}<0$或$\displaystyle \frac{ab-1}{a}>0$"①．
   
   ①若$\displaystyle 0<ab<1$，则可能有$\displaystyle a<0,b<0$或$\displaystyle a>0,b>0$．当$\displaystyle a<0, b<0$时，$\displaystyle \frac{ab-1}{a}>0$；当$\displaystyle a>0, b>0$时，$\displaystyle \frac{ab-1}{b}<0$．因此，由①得$\displaystyle a<\frac{1}{b}$或$\displaystyle b>\frac{1}{a}$．
   
   ②若$\displaystyle a<\frac{1}{b}$或$\displaystyle b>\frac{1}{a}$，可以取$\displaystyle a=b=2$，可得$\displaystyle b>\frac{1}{a}$，但是不满足$\displaystyle 0<ab<1$．
   
   所以"$\displaystyle 0<ab<1$"是"$\displaystyle a<\frac{1}{b}$或$\displaystyle b>\frac{1}{a}$"的充分而不必要条件．
   
       \par
        新答案（来源：1.2 不等式.md）：
   C
   
   【解题思路】若$\displaystyle a<2$，$\displaystyle b<2$，则$\displaystyle ab<4$，矛盾，故$\displaystyle a,b$必有一个超过$\displaystyle 2$，从而$\displaystyle a\vee b\geqslant2$．
   
   若$\displaystyle c>2$，$\displaystyle d>2$，则$\displaystyle c+d>4$，矛盾，故$\displaystyle c,d$必有一个小于等于$\displaystyle 2$，从而$\displaystyle c\wedge d\leqslant2$．
   

   1. 【2011 浙江7】若 \(\displaystyle a, b\) 为实数,则“\(\displaystyle 0 < ab < 1\)”是“\(\displaystyle a < \frac{1}{b}\) 或 \(\displaystyle b > \frac{1}{a}\)”的

   2. 充分不必要条件

   3. 必要不充分条件
   4. 充要条件
   5. 既不充分也不必要条件