6.2多面体与旋转体
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讲义正文
多面体与旋转体
棱柱
我们常见的一些物体如三棱镜、方砖以及螺杆的头部，它们都呈棱柱的形状。
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定义 1.2.1（棱柱）
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
棱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
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根据棱柱的定义，容易得到棱柱的一些性质:
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形;
(2)两个底面与平行于底面的裁面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
底面是平行四边形的四楼柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体。
棱锥
帆布帐篷、金字塔等物体，都给我们以棱锥的形象。
定义 1.2.2
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
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如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥有下述性质:
(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高;
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
棱台
定义 1.2.3（棱台）
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
正棱台有下述性质：
(1)正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形.各等腰梯形的高相等，它叫做正台的斜高;
(2)正棱台的两底面以及平行于底面的面是相似多 边形;
(3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。
多面体
前面我们研究过的棱柱、棱锥、棱台都是由一些多边形围成的几何体，由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。许多矿物结晶体，例如食盐、明矾、石膏都是呈多面体形的。
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把多面体的任何一个面延伸为平面，如果该多面体其余面都在这一平面的同侧，这样的多面体称为凸多面体，前面研究过的所有的棱柱、棱锥、棱台指的都是凸多面体。一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。例如三棱锥是四面体，三棱柱是五面体，正方体是六面体等。
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圆柱、圆锥、圆台
圆钢呈圆柱形，铅锤呈圆锥形，粮囤呈圆台形。这样形状的物体是很多的.
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分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线
圆柱、圆锥、圆台有下面的性质:
(1)平行于底面的截面都是圆;
(2)过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角 形、等腰梯形.
球
常见的排球、足球及滚珠等物体，都呈球形。
定义 1.2.4（球）
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连结球面上两点并且经过球心的线段叫球的直径。
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当我们把地球近似为一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点间的球面距离。