7.7拓展阅读：极坐标和参数方程
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讲义正文
拓展阅读：极坐标和参数方程
在高中，我们主要学习了直角坐标系，其一般分为平面直角坐标系与空间直角坐标系。直角坐标系是最自然，最常用的一种坐标系，但它并不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要按照具体情况而定。
极坐标方程的基本概念
看下面两个具体实例：
\paragraph{实例1}缉拿走私的观测站位于\(\displaystyle O\)点，看到位于点\(\displaystyle A\)处的走私船正在逃跑，现停泊于点\(\displaystyle O\)处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置\(\displaystyle P\)，对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在的直角坐标\(\displaystyle (x,y)\)，而是它的方位角\(\displaystyle \theta\)与二者的距离\(\displaystyle d\)，在航空和航海中的情况都是这样.
\paragraph{实例2}当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是以自身为参考系的目标方位，即目标相对于自身所处的方向与距离.
在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置，这是建立极坐标系的基本思路.
定义 1.7.1（极坐标）
在平面上取一个定点 \(\displaystyle O\)，由 \(\displaystyle O\) 点出发的一条射线 \(\displaystyle Ox\)，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系。\(\displaystyle O\) 点称为极点，\(\displaystyle Ox\) 称为极轴。平面上任一点 \(\displaystyle M\) 的位置可以由线段 \(\displaystyle OM\) 的长度 \(\displaystyle \rho\) 和从 \(\displaystyle Ox\) 到 \(\displaystyle OM\) 的角度 \(\displaystyle \theta\) 来刻画。这两个数组成的有序数对 \(\displaystyle (\rho, \theta)\) 称为点 \(\displaystyle M\) 的极坐标。\(\displaystyle \rho\) 称为极径，\(\displaystyle \theta\) 称为极角。
极坐标与直角坐标的关系
极坐标系和直角坐标系是平面上的两种不同的坐标系。平面上的点可以表示为极坐标，也可以表示为直角坐标。
设在平面上认定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的 \(\displaystyle x\) 轴的正半轴，以 \(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}\) 的射线作为 \(\displaystyle y\) 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。
设 \(\displaystyle M\) 为平面上的一点，它的直角坐标为 \(\displaystyle (x, y)\)，极坐标为 \(\displaystyle (\rho, \theta)\)。可知下面的关系式成立：
\(\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{cases} , \begin{cases} \rho^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac{y}{x} \quad (x \ne 0) \end{cases}\)
例 1 在直角坐标系中，以点 \(\displaystyle (x_0, y_0)\) 为极点，以 \(\displaystyle x\) 轴正向为极轴方向建立极坐标系。写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）。
曲线的极坐标方程
例 1 下列极坐标方程表示的是什么曲线？
（1）\(\displaystyle \rho = 1\)；
（2）\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}\)；
（3）\(\displaystyle \rho = 2a\cos \theta(a>0,-\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2})\)；
（4）\(\displaystyle \rho = 2a\sin \theta(a>0,0\leqslant\theta\leqslant\pi)\)；
（5）
行星的运动或人造卫星的运动都围绕一个引力中心（太阳或地球）。为了描述、研究这类运动，自然会选用极坐标系。以引力中心为极点、运行平面上的某一固定方向为极轴的方向，这类运动的轨迹是椭圆、抛物线或双曲线，即圆锥曲线。下面根据圆锥曲线的共同几何特征导出它的极坐标方程。
圆锥曲线具备一个通用的几何特征：圆锥曲线是到某定点（焦点）和某定直线（准线）的距离之比等于常数（离心率）的点的轨迹。记焦点为 \(\displaystyle O\)，准线为 \(\displaystyle l\)，离心率为 \(\displaystyle \mathrm{e}\)。
以焦点 \(\displaystyle O\) 为极点，\(\displaystyle Ox\) 为极轴建立极坐标系，\(\displaystyle Ox\) 与准线 \(\displaystyle l\) 垂直，极轴所在的直线与 \(\displaystyle l\) 交于 \(\displaystyle D\) 点。设曲线方程为 \(\displaystyle \rho = \rho(\theta)\)，在曲线上任取一点 \(\displaystyle M(\rho, \theta)\)。过点 \(\displaystyle M\) 作准线 \(\displaystyle l\) 的垂线 \(\displaystyle MN\)，过极点 \(\displaystyle O\) 作 \(\displaystyle MN\) 的垂线 \(\displaystyle OE\)，交曲线于 \(\displaystyle A\) 点，作 \(\displaystyle AB // MN\). 记 \(\displaystyle |OA| = p\). 当离心率 \(\displaystyle \mathrm{e}\) 和 \(\displaystyle p\) 给定后，圆锥曲线就完全确定了。
根据圆锥曲线的几何特征，得到下面的表达式：
\(\displaystyle \frac{|OA|}{|BA|} = \mathrm{e}, \quad \frac{|OM|}{|NM|} = \mathrm{e}\)
其中 \(\displaystyle |OM| = \rho, |OA| = p, \angle MOx = \theta\)，因此得 \(\displaystyle |OD| = |BA| = \frac{p}{e}\)，它表示焦点到相应准线的距离。又
\(\displaystyle \begin{aligned} |NM| &= |BA| + |EM| \\ &= \frac{p}{e} + \rho \cos \theta. \end{aligned}\)
从而得
\(\displaystyle \frac{\rho}{\frac{p}{e} + \rho \cos \theta} = \mathrm{e}\)
化简得圆锥曲线的极坐标方程
\(\displaystyle \rho = \frac{p}{1 - \mathrm{e} \cos \theta}\)
方程中的参数 \(\displaystyle \mathrm{e}\) 确定了曲线三个类型：\(\displaystyle \mathrm{e} < 1\) 时为椭圆，\(\displaystyle \mathrm{e} = 1\) 时为抛物线，\(\displaystyle \mathrm{e} > 1\) 时为双曲线。参数 \(\displaystyle p\) 确定了各类曲线的形状。对抛物线来说，\(\displaystyle p\) 就是标准方程 \(\displaystyle y^2 = 2px\) 中的 \(\displaystyle p\)，表示焦点到准线的距离。对椭圆和双曲线来说，可用半轴 \(\displaystyle a\) 和 \(\displaystyle b\) 表示 \(\displaystyle p\)。我们知道焦点到准线的距离为 \(\displaystyle \left| \frac{a}{e} - c \right|\)。因此 \(\displaystyle \frac{p}{e} = \left| \frac{a}{e} - c \right|\)，从而
\(\displaystyle p = |a - ce| = \left| a - c \cdot \frac{c}{a} \right| = \left| \frac{a^2 - c^2}{a} \right|\)
得
\(\displaystyle p = \frac{b^2}{a}\)