7.3圆锥曲线的基本概念

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讲义正文

圆锥曲线的基本概念

圆锥曲线的基本定义

定义 1.3.1（椭圆）

设$\displaystyle F_1,F_2$是平面内的两个定点，$\displaystyle a$是一个常数，且$\displaystyle 2a>|F_1F_2|$，称平面内满足$\displaystyle |PF_1|+|PF_2|=2a$的动点$\displaystyle P$的轨迹为椭圆。称$\displaystyle F_1,F_2$为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离$\displaystyle |F_1F_2|$为椭圆的焦距。

特别地，如果$\displaystyle F_1$与$\displaystyle F_2$重合，则动点$\displaystyle P$的轨迹为圆。

问题

记$\displaystyle F_1(-c,0),F_2(c,0)$，实数$\displaystyle b$满足$\displaystyle a^2=b^2+c^2$，证明：$\displaystyle P$的轨迹可被化简为$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

由此证明了椭圆的标准方程为$$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,a^2=b^2+c^2)}$$

在椭圆的图象上标出$\displaystyle A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b),F_1(-c,0),F_2(c,0)$，称$\displaystyle A_1,A_2$为椭圆的左顶点和右顶点，$\displaystyle A_1A_2$为椭圆的长轴；称$\displaystyle B_1,B_2$为椭圆的下顶点和上顶点，$\displaystyle B_1B_2$为椭圆的短轴。$\displaystyle \mathrm{e}=\frac{c}{a}$为椭圆的离心率，可知$\displaystyle 0<\mathrm{e}<1$。

\paragraph{双曲线}设$\displaystyle F_1,F_2$是平面内的两个定点，$\displaystyle a$是一个常数，且$\displaystyle |F_1F_2|>2a$，称平面内满足$\displaystyle \|PF_1|-|PF_2\|=2a$的动点$\displaystyle P$的轨迹为双曲线，称$\displaystyle F_1,F_2$为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离$\displaystyle |F_1F_2|$为双曲线的焦距。

问题

记$\displaystyle F_1(-c,0),F_2(c,0)$，实数$\displaystyle b$满足$\displaystyle a^2+b^2=c^2$，证明：$\displaystyle P$的轨迹可被化简为$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

由此证明了双曲线的标准方程为$$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0,a^2+b^2=c^2)}$$

在双曲线的图象上标出$\displaystyle A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b)$，称$\displaystyle A-1,A_2$为双曲线的左顶点和右顶点，$\displaystyle A_1A_2$为双曲线的实轴，$\displaystyle B_1B_2$为双曲线的虚轴。$\displaystyle \mathrm{e}=\frac{c}{a}$为双曲线的离心率，可知$\displaystyle \mathrm{e}>1$。

称直线$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$为双曲线的渐近线。

\paragraph{抛物线}设$\displaystyle F$是平面内的一个定点，$\displaystyle l$是不过点$\displaystyle F$的一条定直线，称平面上到点$\displaystyle F$与直线$\displaystyle l$距离相同的点的轨迹为抛物线，称$\displaystyle F$为抛物线的焦点，直线$\displaystyle l$为抛物线的准线。

问题

记$\displaystyle F(\frac{p}{2},0)$，准线为$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$，证明：$\displaystyle P$的轨迹可被化简为$\displaystyle y^2=2px$

由此证明了抛物线的标准方程为$$\displaystyle \boxed{y^2=2px(p>0)}$$

圆锥曲线的第二定义

\paragraph{定义（圆锥曲线的第二定义）}设$\displaystyle F$是平面内的一个定点，$\displaystyle l$是不过点$\displaystyle F$的一条定直线，平面上到点$\displaystyle F$的距离与到$\displaystyle l$的距离之比为定值$\displaystyle \mathrm{e}$的动点的轨迹称为圆锥曲线，其中定点$\displaystyle F$称为圆锥曲线的焦点，定直线$\displaystyle l$称为圆锥曲线的准线。

问题

（1）利用余弦定理证明焦半径公式。

（2）利用准线的定义证明焦半径公式。

（3）利用直线联立证明焦半径公式。

平面与圆锥的交线

A 组习题

习题

A组

【上海高考】已知双曲线$\displaystyle C:x^2-y^2=1$的左顶点为$\displaystyle A$，$\displaystyle B\left(0,1\right)$，$\displaystyle P$是$\displaystyle C$右支上的动点，$\displaystyle \Delta ABP$的面积是否存在最大值？是否存在最小值？
已知椭圆 $\displaystyle C_1,C_2$的焦点分别在$\displaystyle x$轴，$\displaystyle y$轴上，且$\displaystyle C_2$ 经过 $\displaystyle C_1$ 的两个顶点与两个焦点，设$\displaystyle C_1,C_2$ 的离心率分别是 $\displaystyle \mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2$，则
- $\displaystyle \mathrm{e}_1^2<\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle \mathrm{e}_1^2+\mathrm{e}_2^2<1$
- $\displaystyle \mathrm{e}_1^2<\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle \mathrm{e}_1^2+\mathrm{e}_2^2>1$
- $\displaystyle \mathrm{e}_2^2<\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle \mathrm{e}_1^2+\mathrm{e}_2^2<1$
- $\displaystyle \mathrm{e}_2^2<\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle \mathrm{e}_1^2+\mathrm{e}_2^2>1$
3. 已知$\displaystyle \Delta ABC$中，$\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin C$，则$\displaystyle A,B,C$中
- 至少有一个小于$\displaystyle 60^{\circ}$
- 至少有两个不大于$\displaystyle 60^{\circ}$
- 至多有一个小于$\displaystyle 60^{\circ}$
- 至少有两个不大于$\displaystyle 60^{\circ}$
4. 【2024“数海漫游一模”（网络联考）7】已知$\displaystyle F_1,F_2$分别为椭圆$\displaystyle C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$的左右焦点，过$\displaystyle F_2$的一条直线与$\displaystyle C$交于$\displaystyle A,B$两点，且$\displaystyle AF_1 \perp AB$，$\displaystyle |BF_2| = 1$，求椭圆长轴长的最小值。 5. 【2025集英苑5月（网络联考）8】已知双曲线$\displaystyle C_1:x^2-y^2=1,C_2=2x^2-y^2=1$，直线$\displaystyle l$与$\displaystyle C_1,C_2$分别有$\displaystyle a,b$个交点
- 若$\displaystyle a=2$，则$\displaystyle b=2$
- 若$\displaystyle b=2$，则$\displaystyle a=2$
- 若$\displaystyle a=1$，则$\displaystyle b\geqslant1$
- 若$\displaystyle b=1$，则$\displaystyle a\leqslant1$
6. 【2025武汉九调8】设椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左右焦点分别为$\displaystyle F_1,F_2$，椭圆上的点$\displaystyle P$满足$\displaystyle PF_1\perp PF_2$ ，直线$\displaystyle PF_1$和直线$\displaystyle PF_2$分别和椭圆交于异于点$\displaystyle P$的点$\displaystyle A$和点$\displaystyle B$，若$\displaystyle \frac{|F_1A|}{|F_2B|}=\frac{2}{3}$，求该椭圆的离心率。 7. 椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的右焦点为$\displaystyle F$，$\displaystyle A,B$分别为椭圆的上、下顶点，$\displaystyle P$是椭圆上一点，$\displaystyle AP,BF$相互平行，$\displaystyle |AF|=|PB|，$求该椭圆的离心率的平方。 8. 【命题标准样题9】（多选） 下述四个命题中，假命题是
- 要唯一确定抛物线，只需给出准线和抛物线上的一点
- 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆上的一点
- 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
- 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
9. 【2022新高考I卷11】（多选）已知$\displaystyle O$为坐标原点，点$\displaystyle A\left(1,1\right)$在抛物线$\displaystyle C:x^2=2py\left(p>0\right)$上，过点$\displaystyle B\left(0,-1\right)$的直线交$\displaystyle C$于$\displaystyle P,Q$两点，则
- $\displaystyle C$的准线为$\displaystyle y=-1$
- 直线$\displaystyle AB$与$\displaystyle C$相切
- $\displaystyle |OP|\cdot|OQ|>|OA|^2$
- $\displaystyle |BP|\cdot|BQ|>|BA|^2$
10. 【2026新高考II卷11】（多选）已知抛物线 $\displaystyle E:y^2=8x$，有一斜率为 $\displaystyle k(k>0)$ 的直线 $\displaystyle l$ 过点 $\displaystyle (-1,0)$，点 $\displaystyle A$ 在抛物线 $\displaystyle E$ 上，$\displaystyle B$，$\displaystyle C$ 两点在直线 $\displaystyle l$ 上，且 $\displaystyle \triangle ABC$ 为等边三角形，则
- 抛物线 $\displaystyle E$ 的准线方程为 $\displaystyle x=-2$
- 当直线 $\displaystyle l$ 与抛物线 $\displaystyle E$ 无交点时，$\displaystyle k > \sqrt{2}$
- 若直线 $\displaystyle l$ 与抛物线 $\displaystyle E$ 相交于唯一一点 $\displaystyle B$，则抛物线 $\displaystyle E$ 的焦点在直线 $\displaystyle AB$ 上
- 当 $\displaystyle k=2$ 时，$\displaystyle \triangle ABC$ 面积的最小值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}$
11. 【2023全国乙卷理11文12改编】（多选）设$\displaystyle A,B$为双曲线$\displaystyle x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段$\displaystyle AB$中点的是
- $\displaystyle \left(2,4\right)$
- $\displaystyle \left(-2,5\right)$
- $\displaystyle \left(2,6\right)$
- $\displaystyle \left(-2,-7\right)$
答案

将该问题推广到一般的双曲线背景，即对于双曲线$\displaystyle C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，求 $$\displaystyle \{P\in\mathbb{R}^2\mid \text{存在}A,B\in C\text{使得}P\text{为}AB\text{的中点}\}$$ 并在图中画出该集合表示的区域。

$\displaystyle P$是$\displaystyle AB$的中点当且仅当过点$\displaystyle P$的直线$\displaystyle l$交双曲线于$\displaystyle A,B$，使得$\displaystyle P$是$\displaystyle AB$的中点.设过点$\displaystyle P$的直线方程为$\displaystyle l:y-y_0=k(x-x_0)$，假设$\displaystyle l$与曲线$\displaystyle C$有两个交点$\displaystyle A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$. 联立直线$\displaystyle l$与双曲线方程，消去$\displaystyle y$，得 $$\displaystyle (b^2-a^2k^2)x^2-2a^2(-kx_0+y_0)kx-a^2(-kx_0+y_0)^2-a^2b^2=0.$$

由韦达定理， $$\displaystyle \begin{aligned} x_1+x_2=\dfrac{2a^2(-kx_0+y_0)k}{b^2-a^2k^2}, \quad x_1x_2=\dfrac{-a^2(-kx_0+y_0)^2-a^2b^2}{b^2-a^2k^2}. \end{aligned}$$

令$\displaystyle \dfrac{x_1+x_2}{2}=x_0$, 得 $$\displaystyle \dfrac{2a^2(-kx_0+y_0)k}{b^2-a^2k^2}=2x_0.$$

解得$\displaystyle k=\dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}$. 因此，如果点$\displaystyle P$是直线$\displaystyle AB$的中点，则点$\displaystyle P(x_0,y_0)$一定位于直线$\displaystyle y-y_0 = \dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}(x-x_0)$上.

再看是否存在这样的点$\displaystyle P$. 判别式 $$\displaystyle \begin{aligned} \Delta &= [2a^2(-kx_0+y_0)k]^2+4(b^2-a^2k^2)[a^2(-kx_0+y_0)^2+a^2b^2]\\ &=4a^2b^2\Big[b^2-a^2k^2+(-kx_0+y_0)^2\Big] >0 \end{aligned}$$

代入$\displaystyle k=\dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}$得 $$\displaystyle b^2-\dfrac{x_0^2b^4}{y_0^2a^2}+\left(-\dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}x_0+y_0\right)^2>0,$$

即$\displaystyle \dfrac{y_0^2}{b^2}-\dfrac{x_0^2}{a^2}+\left(\dfrac{y_0^2}{b^2}-\dfrac{x_0^2}{a^2}\right)^2 > 0,$ 变形得到 $$\displaystyle \left(\dfrac{y_0^2}{b^2}-\dfrac{x_0^2}{a^2}+1\right)\left(\dfrac{y_0^2}{b^2}-\dfrac{x_0^2}{a^2}\right) >0.\eqno{(*)}$$
1. 【2026上海春11】椭圆$\displaystyle \Gamma_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$与椭圆$\displaystyle \Gamma_2:\frac{y^2}{b^2+2}+\frac{x^2}{b^2}=1$相交于$\displaystyle A,B,C,D$四点，且$\displaystyle A,B,C,D$与$\displaystyle \Gamma_1,\Gamma_2$的四个焦点在同一个圆上，求$\displaystyle b^2$。
2. 【2004湖南理16】 设 $\displaystyle F$ 是椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{6} = 1$ 的右焦点, 且椭圆上至少有 $\displaystyle 21$ 个不同的点 $\displaystyle P_i$ ($\displaystyle i = 1,2,3,\cdots$), 使 $\displaystyle |FP_1|,|FP_2|,|FP_3|,\cdots$ 组成公差为 $\displaystyle d$ 的等差数列, 求 $\displaystyle d$ 的取值范围。
3. 【2006四川理15】 如图, 把椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的长轴 $\displaystyle AB$ 分成 $\displaystyle 8$ 等分, 过每个分点作 $\displaystyle x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于 $\displaystyle P_1,P_2,\cdots,P_7$ 七个点, $\displaystyle F$ 是椭圆的一个焦点，求$\displaystyle |P_1F| + |P_2F| + \cdots + |P_7F|$。
答案

\par 新答案（来源：1.21 椭圆.md）： $\displaystyle 35$

【解题思路】记另一个焦点为$\displaystyle F'$．由题意，$\displaystyle \left|P_7F'\right|=\left|P_1F\right|$，$\displaystyle \left|P_6F'\right|=\left|P_2F\right|$，$\displaystyle \left|P_5F'\right|=\left|P_3F\right|$，$\displaystyle \cdots$，$\displaystyle \left|P_1F'\right|=\left|P_7F\right|$．

又由椭圆的定义，$\displaystyle \left|P_iF\right|+\left|P_iF'\right|=2a=10$，$\displaystyle i=1,\cdots,7$，

所以$\displaystyle \left|P_1F\right|+\left|P_2F\right|+\cdots+\left|P_7F\right|=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{7}\left(\left|P_iF\right|+\left|P_iF'\right|\right)=\frac{1}{2}\times7\times10=35$．
1. 【2026“fiddie”模拟考14】设双曲线 $\displaystyle C$ 的中心为 $\displaystyle O$。若存在 $\displaystyle C$ 上两点 $\displaystyle A, B$ 使得 $\displaystyle |OA| = |OB| = \frac{\sqrt{2}}{2}|AB|$，求 $\displaystyle C$ 的离心率的取值范围。
2. 【2018浙江17】已知点 $\displaystyle P\left(0,1\right)$, 椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=m\ \left(m>1\right)$ 上两点 $\displaystyle A,B$ 满足 $\displaystyle \overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$, 求$\displaystyle m$的值，使得点 $\displaystyle B$ 横坐标的绝对值最大。
3. 【2022新高考I卷16】已知椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$，$\displaystyle C$ 的上顶点为 $\displaystyle A$，两个焦点为 $\displaystyle F_1, F_2$，离心率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$。过 $\displaystyle F_1$ 且垂直于 $\displaystyle AF_2$ 的直线与 $\displaystyle C$ 交于 $\displaystyle D, E$ 两点。$\displaystyle |DE| = 6$，求 $\displaystyle \triangle ADE$ 的周长。
4. 【2025“fiddie”模拟考14】已知等边 $\displaystyle \triangle ABC$ 的三个顶点在抛物线 $\displaystyle y^2 = 4x$ 上，且 $\displaystyle \triangle ABC$ 的其中一条边所在直线的斜率为 $\displaystyle 2$。记 $\displaystyle \triangle ABC$ 的重心为 $\displaystyle G$，求 $\displaystyle G$ 到 $\displaystyle x$ 轴的距离。
5. 解答下述题目
```
1. **【2024“fiddie模拟测试二”2】**若抛物线$\displaystyle y=ax^2$的焦点在直线$\displaystyle y=2x+3$上，求$\displaystyle a$；
2. **【2003北京理12文、13】**求以双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程；
3. **【2001上海理5】**求抛物线 $\displaystyle x^2 - 4y - 3 = 0$ 的焦点坐标；
4. **【2026新高考I卷12】**求双曲线 $\displaystyle 5x^2 - 6y^2 = 1$ 的离心率；
5. **【2021新高考I卷21（1）】**已知点$\displaystyle F_1\left(-\sqrt{17},0\right),F_2\left(\sqrt{17},0\right)$，点$\displaystyle M$满足$\displaystyle |MF_1|-|MF_2|=2$，求点$\displaystyle M$的轨迹方程；
6. **【2012四川理】**动点$\displaystyle M$与平面内两定点$\displaystyle A(-1,0),B(2,0)$构成$\displaystyle \Delta MAB$，且$\displaystyle \angle MBA=2\angle MAB$，求$\displaystyle M$的轨迹方程。
7. **【2004全国II卷理15】**已知中心在原点的椭圆与双曲线 $\displaystyle 2x^2 - 2y^2 = 1$ 有公共的焦点, 且它们的离心率互为倒数, 求该椭圆的方程；
8. **【1997全国卷理11，文11】**已知椭圆$\displaystyle C$与椭圆$\displaystyle \frac{\left(x-3\right)^2}{9}+\frac{\left(y-2\right)^2}{4}=1$关于直线$\displaystyle x+y=0$对称，求$\displaystyle C$的方程；
9. **【2016全国I卷理】**设圆$\displaystyle x^2+y^2-2x-15=0$的圆心为$\displaystyle A$，直线$\displaystyle l$过点$\displaystyle B(1,0)$且与$\displaystyle x$轴不重合，$\displaystyle l$交圆$\displaystyle A$于$\displaystyle C,D$两点，过$\displaystyle B$作$\displaystyle AC$的平行线交$\displaystyle AD$于点$\displaystyle E$，求点$\displaystyle E$的轨迹方程。
10. **【2004广东8】** 双曲线 $\displaystyle 2x^2 - y^2 = k$ ($\displaystyle k>0$) 的焦点到它相对应的准线的距离是 2, 求 $\displaystyle k$；
11. 已知过$\displaystyle A\left(-1,0\right)$，$\displaystyle B\left(1,0\right)$两点的动抛物线的准线始终与圆$\displaystyle x^2 + y^2 = 9$相切，该抛物线焦点$\displaystyle P$的轨迹是某圆锥曲线$\displaystyle E$的一部分。求$\displaystyle E$的方程；
```
  1. 解答下述题目
    1. 已知 $\displaystyle A\left(1, \frac{1}{2}\right)$，点 $\displaystyle P$ 在椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 上，点 $\displaystyle Q$ 在圆 $\displaystyle \left(x - 1\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ 上，分别求 $\displaystyle |PA| + |PQ|$ 和$\displaystyle \frac{1}{2}|PA| + |PQ|$ 的取值范围。
      1. 【2007重庆理22】中心在原点 $\displaystyle O$ 的椭圆的右焦点为 $\displaystyle F\left(3,0\right)$, 右准线 $\displaystyle l$ 的方程为: $\displaystyle x = 12$，在椭圆上任取三个不同点 $\displaystyle P_1,P_2,P_3$, 使 $\displaystyle \angle P_1FP_2 = \angle P_2FP_3 = \angle P_3FP_1$, 求 $\displaystyle \frac{1}{|FP_1|} + \frac{1}{|FP_2|} + \frac{1}{|FP_3|}$。
    2. 已知椭圆$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,F(-1,0)$，设$\displaystyle Q$为$\displaystyle C$上一动点,当$\displaystyle |PQ|+|QF|$取得最大值时,求直线$\displaystyle QF$被$\displaystyle C$截得的弦长。
    3. 【同2005山东理12】【2024新高考I卷16（2）】已知$\displaystyle A\left(0,3\right)$和$\displaystyle P\left(3,\frac{3}{2}\right)$为椭圆$\displaystyle C:\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$上两点。若过$\displaystyle P$的直线$\displaystyle l$交于另一点$\displaystyle B$，且$\displaystyle \Delta ABP$的面积为9，求$\displaystyle l$的方程。
    4. 已知椭圆$\displaystyle E:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$。$\displaystyle A,B$为椭圆$\displaystyle E$的左右顶点，$\displaystyle P$在椭圆上，且在$\displaystyle x$轴上方，直线$\displaystyle PA,PB$交直线$\displaystyle x=m$于$\displaystyle M,N$。
（1）求直线$\displaystyle PA,PB$的斜率乘积；

（2）若$\displaystyle PB$的中点$\displaystyle Q$在以$\displaystyle MN$为直径的圆上，求$\displaystyle m$的取值范围。 24. 【2015安徽理20】已知$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$，点$\displaystyle O$为坐标原点，$\displaystyle A\left(a,0\right),B\left(0,b\right)$，点$\displaystyle M$在线段$\displaystyle AB$上，满足$\displaystyle |BM|=2|MA|$，直线$\displaystyle OM$的斜率为$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}$。

（1）求$\displaystyle E$的离心率；

（2）设点$\displaystyle C$的坐标为$\displaystyle \left(0,-b\right)$，$\displaystyle N$为线段$\displaystyle AC$的中点，点$\displaystyle N$关于直线$\displaystyle AB$的对称点的纵坐标为$\displaystyle \frac{7}{2}$，求$\displaystyle E$的方程。 25. 【2012江苏19】已知椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1$的左右焦点分别为 $\displaystyle F_1, F_2$，设 $\displaystyle A,B$ 是椭圆上位于 $\displaystyle x$ 轴上方的两点，满足直线 $\displaystyle AF_1\parallel BF_2$ ，设$\displaystyle AF_2$ 与 $\displaystyle BF_1$ 交于点 $\displaystyle P$。
1. 若 $\displaystyle AF_1-BF_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$, 求直线 $\displaystyle AF_1$ 的斜率；
2. 求证: $\displaystyle PF_1+PF_2$ 是定值.
3. 【2026新高考II卷18】已知$\displaystyle O$ 为坐标原点，椭圆 $\displaystyle E:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，给定点 $\displaystyle G(t_0,0)(t_0\neq 0)$，$\displaystyle A(x_0,y_0)(y_0\neq 0)$ 在 $\displaystyle E$ 上，过点 $\displaystyle A$ 作 $\displaystyle y$ 轴的垂线，垂足为 $\displaystyle B$，$\displaystyle AO$ 与 $\displaystyle GB$ 交于点 $\displaystyle P$，当 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle E$ 上运动时，$\displaystyle P$ 的轨迹为 $\displaystyle M$。
（1）求 $\displaystyle M$ 的方程，并说明 $\displaystyle M$ 是什么曲线；

（2）$\displaystyle M$ 是否存在对称中心？当 $\displaystyle t_0$ 为何值时，$\displaystyle M$ 存在对称中心？当 $\displaystyle M$ 存在对称中心时，平移 $\displaystyle M$ 到 $\displaystyle M'$，使 $\displaystyle O$ 为 $\displaystyle M'$ 的对称中心，说明 $\displaystyle M'$ 的形状。 27. 【2026新高考I卷18】已知椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$的左焦点为 $\displaystyle F$。设 $\displaystyle O$ 为坐标原点，过 $\displaystyle F$ 且斜率大于 $\displaystyle 0$ 的动直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle C$ 交于 $\displaystyle P,Q$ 两点，其中 $\displaystyle Q$ 在第三象限，直线 $\displaystyle PO$ 与 $\displaystyle C$ 的另一个交点为 $\displaystyle R$。 1. 若 $\displaystyle \triangle PQR$ 的面积是 $\displaystyle \triangle PFO$ 的面积的 $\displaystyle 3$ 倍，求 $\displaystyle l$ 的方程； 2. 求 $\displaystyle \tan \angle PQR$ 的最小值。
答案

（1）设直线 $\displaystyle l:x=my-1\left(m>0\right)$,联立该直线与椭圆$\displaystyle \begin{cases} x+1=my,\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \end{cases}$,得到$$\displaystyle \left(3m^2+4\right)y^2-6my-9=0$$

设 $\displaystyle P\left(x_1,y_1\right)$,$\displaystyle Q\left(x_2,y_2\right)$.由题设,$\displaystyle y_2<0$,$\displaystyle R\left(-x_1,-y_1\right)$,由韦达定理,$$\displaystyle y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4},\quad y_1y_2=\frac{-9}{3m^2+4}$$

记 $\displaystyle \triangle PQR$,$\displaystyle \triangle PFO$ 的面积分别为 $\displaystyle S_1$,$\displaystyle S_2$,则 $\displaystyle S_1=\frac12\left\lvert PQ\right\rvert\left\lvert PR\right\rvert\sin\angle QPR$,$\displaystyle S_2=\frac12\left\lvert PF\right\rvert\left\lvert PO\right\rvert\sin\angle FPO$,由已知,$\displaystyle \left\lvert PR\right\rvert=2\left\lvert PO\right\rvert$,$\displaystyle \sin\angle QPR=\sin\angle FPO$,所以 $\displaystyle \frac{\left\lvert PQ\right\rvert}{\left\lvert PF\right\rvert}=\frac{S_1}{2S_2}=\frac32$,于是 $\displaystyle \left\lvert FQ\right\rvert=\left\lvert PQ\right\rvert-\left\lvert PF\right\rvert=\frac12\left\lvert PF\right\rvert$.所以 $\displaystyle y_2=-\frac{y_1}{2}$,将该式分别带入上述由韦达定理计算得到的两根和积式,分别有$\displaystyle y_1=\frac{12m}{3m^2+4},y_1^2=\frac{18}{3m^2+4}$. 所以 $\displaystyle \frac{18}{3m^2+4}=\frac{\left(12m\right)^2}{\left(3m^2+4\right)^2}$,解得 $\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt5}$（负根舍去）.
```
因此直线 $\displaystyle l$ 方程为 $\displaystyle x+1-\frac{2}{\sqrt5}y=0$($\displaystyle y=\frac{\sqrt5}{2}\left(x+1\right)$)

（2） 由题设,$\displaystyle \vv{QP}=\left(x_1-x_2,y_1-y_2\right)$,$\displaystyle \vv{QR}=\left(-x_1-x_2,-y_1-y_2\right)$,

因为 $\displaystyle \vv{QP}\cdot\vv{QR}=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2=y_2^2>0$,所以 $\displaystyle \angle PQR$ 是锐角.

设直线 $\displaystyle PQ$,$\displaystyle QR$ 的倾斜角分别为 $\displaystyle \alpha$,$\displaystyle \beta$,则 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$,$\displaystyle \tan\beta=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}$.

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} \tan\angle PQR&=\left\lvert\tan\left(\alpha-\beta\right)\right\rvert=\left\lvert\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right\rvert\\ &=\left\lvert\frac{\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}}{1+\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}}\right\rvert\\ &=\left\lvert\frac{\left(y_1-y_2\right)\left[m\left(y_1+y_2\right)-2\right]-m\left(y_1-y_2\right)\left(y_1+y_2\right)}{y_2^2}\right\rvert\\ &=\frac6{y_1+y_2}. \end{aligned}$$

因为 $\displaystyle \frac6{y_1+y_2}=\frac{4m^2+3}{m}\geqslant4\sqrt3$,当且仅当 $\displaystyle 4m^2=3$,即 $\displaystyle m=\frac{\sqrt3}{2}$ 时取等号,故 $\displaystyle \tan\angle PQR$ 的最小值为 $\displaystyle 4\sqrt3$.

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 新答案（来源：3.4 性质的证明（4）解析几何.md）：
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（1）设直线$\displaystyle y=kx+1$被椭圆截得的线段为$\displaystyle AP$，由 $$\displaystyle \begin{cases} y=kx+1,\\ \frac{x^2}{a^2}+y^2=1 \end{cases}$$ 得 $$\displaystyle \left(1+a^2k^2\right)x^2+2a^2kx=0,$$ 故$\displaystyle x_1=0$，$\displaystyle x_2=-\frac{2a^2k}{1+a^2k^2}$，因此 $$\displaystyle \left|AP\right|=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|=\frac{2a^2\left|k\right|}{1+a^2k^2}\cdot\sqrt{1+k^2}.$$ （2）假设圆与椭圆的公共点有$\displaystyle 4$个，由对称性可设$\displaystyle y$轴左侧的椭圆上有两个不同的点$\displaystyle P$，$\displaystyle Q$，满足$\displaystyle \left|AP\right|=\left|AQ\right|$．记直线$\displaystyle AP$，$\displaystyle AQ$的斜率分别为$\displaystyle k_1$，$\displaystyle k_2$，且$\displaystyle k_1,k_2>0$，$\displaystyle k_1\ne k_2$．由（1）知 $$\displaystyle \left|AP\right|=\frac{2a^2\left|k_1\right|}{1+a^2k_1^2}\cdot\sqrt{1+k_1^2},$$ $$\displaystyle \left|AQ\right|=\frac{2a^2\left|k_2\right|}{1+a^2k_2^2}\cdot\sqrt{1+k_2^2},$$ 故$\displaystyle \frac{2a^2\left|k_1\right|}{1+a^2k_1^2}\cdot\sqrt{1+k_1^2}=\frac{2a^2\left|k_2\right|}{1+a^2k_2^2}\cdot\sqrt{1+k_2^2}$，所以 $$\displaystyle \left(k_1^2-k_2^2\right)\left[1+k_1^2+k_2^2+a^2\left(2-a^2\right)k_1^2k_2^2\right]=0.$$ 由于$\displaystyle k_1\ne k_2$，$\displaystyle k_1,k_2>0$得 $$\displaystyle 1+k_1^2+k_2^2+a^2\left(2-a^2\right)k_1^2k_2^2=0,$$ 因此 $$\displaystyle \left(\frac{1}{k_1^2}+1\right)\left(\frac{1}{k_2^2}+1\right)=1+a^2\left(a^2-2\right),①$$ 因为①式关于$\displaystyle k_1,k_2$的方程有解的充要条件是$\displaystyle 1+a^2\left(a^2-2\right)>1$，所以$\displaystyle a>\sqrt{2}$.

因此，任意以点$\displaystyle A\left(0,1\right)$为圆心的圆与椭圆至多有$\displaystyle 3$个公共点的充要条件是$\displaystyle 1<a\leqslant\sqrt{2}$.

由$\displaystyle \mathrm{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}$得，所求离心率的取值范围为$\displaystyle 0<\mathrm{e}\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}$．
1. 【2016浙江19】设椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$。
  1. 求直线$\displaystyle y=kx+1$被椭圆截得的线段长（用$\displaystyle a,k$表示）；
    1. 若任意以点$\displaystyle A\left(0,1\right)$为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围。
  2. 【2025八省联考18】已知椭圆$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左右焦点$\displaystyle F_1,F_2$。设$\displaystyle M$是坐标平面上的动点，且线段$\displaystyle F_1M$的垂直平分线与$\displaystyle C$恰有一个公共点，证明$\displaystyle M$的轨迹为圆，并求该圆的方程。

B 组习题

B组

【2025温州一模11】已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$的左右焦点分别为$\displaystyle F_1,F_2$，上下顶点分别为$\displaystyle B_1,B_2$，左顶点为$\displaystyle A_1$，$\displaystyle P,Q$是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是
- $\displaystyle P,Q,F_1,F_2$
- $\displaystyle P,Q,B_1,B_2$
- $\displaystyle P,Q,F_1,B_1$
- $\displaystyle P,Q,A_1,B_1$

7.3圆锥曲线的基本概念

讲义正文

圆锥曲线的基本概念

圆锥曲线的基本定义

圆锥曲线的第二定义

平面与圆锥的交线

A 组习题

习题

B 组习题

C 组习题

D 组习题