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问题
解答下述问题：
（1）试述正弦定理,余弦定理并给出推导过程；
（2）试述海伦公式并给出推导过程.
【2010上海理18】 某人要作一个三角形, 要求它的三条高的长度分别是 \(\displaystyle \frac{1}{13},\frac{1}{11},\frac{1}{5}\), 则此人将
<div class="choices choices--4" markdown>
??? answer "答案"
B.
设三边为$\displaystyle a,b,c$,对应高为$\displaystyle h_a=1/13,h_b=1/11,h_c=1/5$.
因此三边之比为
$$\displaystyle a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5.$$
这是可以作出的，由于$\displaystyle 5^2+11^2=146<13^2$，该三角形为锐角三角形。
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新答案（来源：1.12 解三角形.md）：
D
【解题思路】因为$\displaystyle \triangle ABC$的面积可表示为
$$\displaystyle S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}bh_c$$
其中$\displaystyle h_a,h_b,h_c$分别是$\displaystyle a,b,c$所在的边的高．
则$\displaystyle a=\frac{2S}{h_a}$，$\displaystyle b=\frac{2S}{h_b}$，$\displaystyle c=\frac{2S}{h_c}$．
不妨设$\displaystyle h_a=\frac{1}{13}$，$\displaystyle h_b=\frac{1}{11}$，$\displaystyle h_c=\frac{1}{5}$，则$\displaystyle a:b:c=13:11:5$．
于是$\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{121+25-169}{2\times11\times5}<0$，所以，一定是钝角三角形．
【实测数据】本题难度$\displaystyle 0.55$，区分度$\displaystyle 0.34$，选$\displaystyle A$、$\displaystyle B$、$\displaystyle C$、$\displaystyle D$分别占比$\displaystyle 16.74\%$、$\displaystyle 23.39\%$、$\displaystyle 4.46\%$、$\displaystyle 54.94\%$．
【易错警示】本题在解题过程中，隐含着一个高与边转换的关系，有些学生不能洞察这一关系，显得一筹莫展，这样的学生一般选择了$\displaystyle A$，所占比率有$\displaystyle 16.74\%$．
A.必要性成立，若三角形为等边三角形,易得\(\displaystyle t=1\).充分性不成立， 由\(\displaystyle a\leqslant b\leqslant c\),有$\(\displaystyle \max\left\{\frac ab,\frac bc,\frac ca\right\}=\frac ca, \min\left\{\frac ab,\frac bc,\frac ca\right\}=\min\left\{\frac ab,\frac bc\right\}.\)$
假设\(\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{b}{c}\),那么\(\displaystyle t=\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=1\),于是\(\displaystyle b=c\)，取\(\displaystyle (a,b,c)=(1,2,2)\)可以构成三角形,满足对应的\(\displaystyle t=1\)，但不是等边三角形.于是选A。
评：实测数据：本题文科难度\(\displaystyle 0.51\)，区分度\(\displaystyle 0.40\)，选\(\displaystyle A\)、\(\displaystyle B\)、\(\displaystyle C\)、\(\displaystyle D\)的比率分别为\(\displaystyle 21.13\%\)、\(\displaystyle 50.56\%\)、\(\displaystyle 21.32\%\)、\(\displaystyle 6.77\%\)；理科难度\(\displaystyle 0.67\)，区分度\(\displaystyle 0.42\)，选\(\displaystyle A\)、\(\displaystyle B\)、\(\displaystyle C\)、\(\displaystyle D\)的比率分别为\(\displaystyle 11.6\%\)、\(\displaystyle 67.38\%\)、\(\displaystyle 16.96\%\)、\(\displaystyle 3.88\%\)
C. 充分性成立，不妨设最大边为\(\displaystyle c\).三角形为锐角三角形当且仅当\(\displaystyle c^2<a^2+b^2.\)此时\(\displaystyle a^2,b^2,c^2\)可以构成三角形的三边长。必要性成立，已知\(\displaystyle a^2,b^2,c^2\)能构成三角形,则一定有\(\displaystyle c^2<a^2+b^2\)，此时\(\displaystyle a,b,c\)构成一个锐角三角形的三边长。
由正弦定理可得\(\displaystyle \frac{\sin B}{\sin C}=\frac bc=2.(*)\) 又\(\displaystyle A/B=2\),所以\(\displaystyle A=2B\),\(\displaystyle C=\pi-3B\),即\(\displaystyle \sin C=\sin3B\).带入\(\displaystyle (*)\)式有 $\(\displaystyle 2\sin3B=\sin B.\)$ 展开三倍角 \(\displaystyle \sin3B=3\sin B-4\sin^3B\)并约去\(\displaystyle \sin B\)，得到\(\displaystyle 2(3-4\sin^2B)=1\),于是\(\displaystyle \sin^2B=\frac58.\) 故\(\displaystyle \cos^2B=3/8\),由于\(\displaystyle B\)为锐角,所以\(\displaystyle \cos B=\sqrt{3/8}\).于是 $\(\displaystyle \frac ac=\frac{\sin A}{\sin C} =\frac{\sin2B}{\sin3B} =\frac{2\sin B\cos B}{\sin B/2} =4\cos B=4\sqrt{3/8}=\sqrt6.\)$
【2024全国甲卷理11文12改编】在\(\displaystyle \Delta ABC\)中,有\(\displaystyle B=\frac{2\pi}{3},b^2=6ac\),求\(\displaystyle \cos A+\cos C\). ??? answer "答案"
\(\displaystyle \sqrt{42}/4.\)将\(\displaystyle b^2=6ac\)边化角，可以得到\(\displaystyle \sin A\sin C=\frac{1}{6}\sin^2B=\frac{1}{8}\).又由\(\displaystyle \cos B=-\cos (A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C\)可以得到\(\displaystyle \cos A\cos C=\frac{5}{8}\)
由余弦定理，有$\(\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{\sin^2A+\sin^2C-\sin^2B}{2\sin A\sin C}=\cos B\)$
可以得到\(\displaystyle \sin^2A+\sin^2C=\frac{5}{8}\),于是\(\displaystyle \cos^2A+\cos^2C=\frac{11}{8}\)，故 $\(\displaystyle \cos A+\cos C=\sqrt{\cos^2A+\cos^2C=2\cos A\cos C}=\frac{\sqrt{42}}{4}\)$ 7. 【2008江苏13】求满足\(\displaystyle AB=2,AC=\sqrt{2}BC\)的三角形\(\displaystyle ABC\)的面积最大值. 8. 【2005湖南理10】设\(\displaystyle P\)是\(\displaystyle \Delta ABC\)内任意一点,\(\displaystyle S_{\Delta ABC}\)表示\(\displaystyle \Delta ABC\)的面积,\(\displaystyle \lambda_1=\frac{S_{\Delta PBC}}{S_{\Delta ABC}},\lambda_2=\frac{S_{\Delta PCA}}{S_{\Delta ABC}},\lambda_3=\frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta ABC}}\),定义\(\displaystyle f(P)=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\),若\(\displaystyle G\)是\(\displaystyle \Delta ABC\)的重心,\(\displaystyle f(Q)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})\),则
A.重心\(\displaystyle G\)满足\(\displaystyle f(G)=(1/3,1/3,1/3)\),考虑由\(\displaystyle G\)作若干移动到\(\displaystyle Q\)，为保证第二个分量仍为\(\displaystyle 1/3\)，应将\(\displaystyle G\)沿直线\(\displaystyle AC\)平移，要使得第一个分量增大到\(\displaystyle 1/2\)，则应向\(\displaystyle \vv{CA}\)方向平移到\(\displaystyle \triangle GAB\)内部。
评：实测数据：本题理科难度为$\displaystyle 0.550$，区分度为$\displaystyle 0.549$
（A）\(\displaystyle \Delta A_1B_1C_1\)和\(\displaystyle \Delta A_2B_2C_2\)都是锐角三角形
（B）\(\displaystyle \Delta A_1B_1C_1\)和\(\displaystyle \Delta A_2B_2C_2\)都是钝角三角形
（C）\(\displaystyle \Delta A_1B_1C_1\)是钝角三角形,\(\displaystyle \Delta A_2B_2C_2\)是锐角三角形
（D）\(\displaystyle \Delta A_1B_1C_1\)是锐角三角形,\(\displaystyle \Delta A_2B_2C_2\)是钝角三角形
D. 三角形\(\displaystyle A_1B_1C_1\)的三个余弦值等于正数,故其三个角均为锐角.下证明三角形\(\displaystyle A_2B_2C_2\)为钝角三角形，采取反证法证明。假设三角形\(\displaystyle A_2B_2C_2\)为锐角三角形，记三角形\(\displaystyle A_1B_1C_1\)中的三个角的大小为\(\displaystyle x,y,z\)（忽略顺序），于是\(\displaystyle \sin A_2=\cos x,\sin B_2=\cos y,\sin C_2=\cos z\).对于\(\displaystyle \sin C_2\)要保证\(\displaystyle \cos z\)为正值，即\(\displaystyle x+y>\frac{\pi}{2}\).下分析\(\displaystyle A_2,B_2.\)可知$\(\displaystyle \sin A_2=\sin(\frac{\pi}{2}-x),\quad sin B_2=\sin(\frac{\pi}{2}-y)\)$
讨论诸情况，只可能有\(\displaystyle A_2=\frac{\pi}{2}-x,B_2=\frac{\pi}{2}-y\)，而\(\displaystyle A_2+B_2=\pi -x-y<\frac{\pi}{2}\)，此时\(\displaystyle C_2>\frac{\pi}{2}\)，矛盾，故假设错误，\(\displaystyle \triangle A_2B_2C_2\)为钝角三角形.
【2016江苏14】在锐角 \(\displaystyle \triangle ABC\) 中, \(\displaystyle \sin A=2\sin B\sin C\), 求 \(\displaystyle \tan A\tan B\tan C\) 的最小值. ??? answer "答案"
题设可化为 $\(\displaystyle \sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C.\)$ 因三角形为锐角,令\(\displaystyle x=\tan B,y=\tan C\),两边同除\(\displaystyle \cos B\cos C>0\)得\(\displaystyle x+y=2xy.\)设\(\displaystyle xy=p\)，由\(\displaystyle x+y=2xy\geqslant 2\sqrt{xy}\)可以得到\(\displaystyle p\)的取值范围是\(\displaystyle p\geqslant 1\)。由\(\displaystyle \tan A=-\tan(B+C)=\frac{x+y}{xy-1}.\)可得（设\(\displaystyle p-1=u\)） $\(\displaystyle \tan A\tan B\tan C =\frac{xy(x+y)}{xy-1} =\frac{2p^2}{p-1}=\frac{2(u+1)^2}{u}\geqslant 8\)$
当\(\displaystyle u=1\),即\(\displaystyle xy=2\)时取到等号，所以最小值为\(\displaystyle 8\). 12. 在锐角\(\displaystyle \Delta ABC\)中,已知\(\displaystyle a^2=b^2+bc\),求\(\displaystyle \frac{c}{b}+\frac{2}{\cos^2B}\)的最小值. 13. 【2013重庆理20】在 \(\displaystyle \triangle ABC\) 中,已知 $\(\displaystyle a^2+b^2+\sqrt{2}ab=c^2,\quad \cos A \cos B=\frac{3\sqrt{2}}{5},\quad \frac{\cos(\alpha+A)\cos(\alpha+B)}{\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}\)$求 \(\displaystyle \tan\alpha\).
由\(\displaystyle a^2+b^2+\sqrt2ab=c^2\)及余弦定理得到\(\displaystyle C=3\pi/4.\) 展开第三式，得到$\(\displaystyle \frac{(\sin\alpha\sin A-\cos\alpha\cos A)(\sin\alpha\sin B-\cos\alpha\cos B)}{\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}\)$化简有 $\(\displaystyle \tan^2\alpha\sin A\sin B-\tan\alpha\sin(A+B)+\cos A\cos B=\frac{\sqrt{2}}{5}(*)\)$
因为 \(\displaystyle -\cos C=\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)，由此得到 \(\displaystyle \sin A\sin B=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，将上述已知量代回\(\displaystyle (*)\)式，得到 $\(\displaystyle \tan^2\alpha-5\tan\alpha+4=0\)$解得 \(\displaystyle \tan\alpha=1\) 或 \(\displaystyle \tan\alpha=4\)。 14. 【2007四川文12】\(\displaystyle l_1,l_2,l_3\) 是同一平面内从上到下排布的三条平行直线, \(\displaystyle l_1\) 与 \(\displaystyle l_2\) 间的距离是 \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle l_2\) 与 \(\displaystyle l_3\) 间的距离是 \(\displaystyle 2\), 正三角形 \(\displaystyle ABC\) 的三顶点分别在 \(\displaystyle l_1,l_2,l_3\) 上, 求 \(\displaystyle \triangle ABC\) 的边长. 15. 【2021全国乙卷理9】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点 \(\displaystyle E, H, G\) 在水平线 \(\displaystyle AC\) 上,\(\displaystyle DE\) 和 \(\displaystyle FG\) 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,\(\displaystyle EG\) 称为“表距”,\(\displaystyle GC\) 和 \(\displaystyle EH\) 都称为“表目距”,\(\displaystyle GC\) 与 \(\displaystyle EH\) 的差称为“表目距的差”,则海岛的高 \(\displaystyle AB =\)
令$\displaystyle BD=x$,则$\displaystyle CD=2x$,故$\displaystyle BD=x$.分别在$\displaystyle \triangle ADB,ADC$中用余弦定理
$$\displaystyle AB^2&=AD^2+BD^2-2AD\cdot BD\cos120^\circ =x^2+2x+4.
AC^2&=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos 60^\circ=4x^2-4x+4.$$
不妨求$\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)^2$的最小值，分离分子的二次项有
$$\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 &=\frac{4x^2-4x+4}{x^2+2x+4}=4[1-3\times \frac{x+1}{(x+1)^2+3}]
&=4[1-3\times \frac{1}{x+1+\frac{3}{x+1}}].$$
当$\displaystyle x+1+\frac{3}{x+1}$取到最小值时，上式取到最小值，此时$\displaystyle x=\sqrt{3}-1$，于是当$\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)$取最小值时，$\displaystyle BD=\sqrt{3}-1$
（1）由余弦定理，\(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot\cos B=9+12-2\times3\times2\sqrt3\times\frac{\sqrt3}{3}=9\)，所以 \(\displaystyle AC=3\)。由余弦定理，\(\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\frac13\)。
（2）因为 \(\displaystyle DE\parallel BC\)，\(\displaystyle D\) 在 \(\displaystyle BA\) 的延长线上，所以 \(\displaystyle \angle ADE=\pi-\angle DBC\)。由 \(\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt3}{3}\)，\(\displaystyle B\in\left(0,\pi\right)\) 得 \(\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt6}{3}\)。从而 \(\displaystyle \sin\angle ADE=\sin B=\frac{\sqrt6}{3}\)。
因为 \(\displaystyle AE\perp AC\)，所以 \(\displaystyle \angle DAE=\pi-\angle AEC-\angle BAC=\frac{\pi}{2}-\angle BAC\)， 从而 \(\displaystyle \sin\angle DAE=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\angle BAC\right)=\cos\angle BAC=\frac13\)。
在 \(\displaystyle \triangle ADE\) 中，由正弦定理，\(\displaystyle \frac{AE}{\sin\angle ADE}=\frac{DE}{\sin\angle DAE}\)，所以 \(\displaystyle AE=\frac{DE\sin\angle ADE}{\sin\angle DAE}=6\)。 又 \(\displaystyle AE\perp AC\)，所以 \(\displaystyle CE=\sqrt{AE^2+AC^2}=3\sqrt5\)。
若\(\displaystyle a=5,\cos A=\frac{25}{31}\),求\(\displaystyle \Delta ABC\)的周长.
（1）展开题述等式，有 $\(\displaystyle \sin C(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\)$ 由正弦定理，角化为边 $\(\displaystyle ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C\)$ 移项，并用余弦定理 $\(\displaystyle ac(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})+ab(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=2bc(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})\)$ 化简得到\(\displaystyle 2a^2=b^2+c^2\).
（2）当\(\displaystyle a=5,\cos A=25/31\)时,由余弦定理\(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\) 即\(\displaystyle 25=b^2+c^2-\frac{50}{31}bc.\) 结合\(\displaystyle b^2+c^2=2a^2=50\),可以解得\(\displaystyle bc=\frac{31}{2}\),于是\(\displaystyle (b+c)^2=81\)，得到\(\displaystyle b+c=9\)，于是\(\displaystyle \triangle ABC\)的周长为\(\displaystyle 14\). 31. 【2022新高考I卷18】\(\displaystyle \Delta ABC\)中，已知\(\displaystyle \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}\).求\(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}\)的最小值.
对等式的右侧变形 $\(\displaystyle \frac{\sin2B}{1+\cos2B} =\frac{2\sin B\cos B}{2\cos^2B}=\frac{\sin B}{\cos B}.\)$
于是\(\displaystyle \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin B}{\cos B}\)，对比例等式作交叉相乘，有 $\(\displaystyle \cos A\cos B=\sin B+\sin A\sin B\)$
从这里有\(\displaystyle \cos (A+B)=\sin B\)，即\(\displaystyle \sin B+\cos C=0(*)\).由诱导公式，有\(\displaystyle -\cos C=\sin(C-\frac{\pi}{2})\)，于是\(\displaystyle \sin B=\sin(C-\frac{\pi}{2})\)，由此解得 $\(\displaystyle B=C-\frac{\pi}{2}+2k_1\pi,\quad B+C-\frac{\pi}{2}=(2k_2+1)\pi,\quad k_1,k_2\in\mathbb{Z}\)$
根据题意，只可能有\(\displaystyle k_1=0\)，于是\(\displaystyle B=C-\frac{\pi}{2}\).故\(\displaystyle A=\frac{3\pi}{2}-2C\)，于是
当\(\displaystyle 4\sin^2C=\frac{2}{\sin^2C}\)，即\(\displaystyle \sin C=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\)时取到等号。
故\(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}\)的最小值为\(\displaystyle 4\sqrt{2}-5\). 32. 【2023温州一模18】锐角\(\displaystyle \Delta ABC\)中,已知\(\displaystyle \frac{\sin(A-B)}{\cos B}=\frac{\sin(A-C)}{\cos C}\). 1. 求证\(\displaystyle B=C\)： 2. 若\(\displaystyle a\sin C=1\),求\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)的最大值. 33. \(\displaystyle \Delta ABC\)中，已知\(\displaystyle 2\sin C=\sin(B-A)=2\sin A\sin C-\sin^2B\). 1. \(\displaystyle \angle B\)是否可能为直角？请说明理由. 2. 若\(\displaystyle \Delta ABC\)为锐角三角形,求\(\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}\)的取值范围. 34. 【2021新高考I卷19】\(\displaystyle \Delta ABC\)中,\(\displaystyle b^2=ac\),点\(\displaystyle D\)在边\(\displaystyle AC\)上,\(\displaystyle BD\sin\angle ABC=a\sin C\).若\(\displaystyle AD=2DC\),求\(\displaystyle \cos\angle ABC\). 35. 在凸四边形 \(\displaystyle ABCD\) 中,记 \(\displaystyle AB=a, BC=b, CD=c, DA=d\),四边形 \(\displaystyle ABCD\) 的面积为 \(\displaystyle S\).已知 \(\displaystyle \angle B + \angle D = 180^\circ\). 1. 证明：\(\displaystyle 2(ab+cd)\cos B = a^2 + b^2 - c^2 - d^2\)； 2. 证明：\(\displaystyle S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\),其中 \(\displaystyle p = \frac{a+b+c+d}{2}\)； 3. 若 \(\displaystyle b = c = d = 1\),求四边形 \(\displaystyle ABCD\) 面积 \(\displaystyle S\) 的最大值. 36. 【2025“数海漫游二模”（网络联考）15】在\(\displaystyle \Delta ABC\)中,已知\(\displaystyle \cos A=\frac{bc}{c^2-a^2}\).若\(\displaystyle B=b=\frac{\pi}{4}\),求\(\displaystyle \Delta ABC\)的面积.
B组
1. **【2025新高考I卷11节选】**已知$\displaystyle A,B,C$是$\displaystyle \Delta ABC$的三个内角，若$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\sin C$，证明：$\displaystyle C=90^{\circ}$