1.2集合

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讲义正文

集合

基本概念

定义 1.2.1（集合）

集合是不同对象的一个无序的聚集,对象也称为集合的元素.用\(\displaystyle a\in A\)来表示\(\displaystyle a\)是集合\(\displaystyle A\)中的一个元素,用\(\displaystyle a\notin A\)来表示\(\displaystyle a\)不是集合\(\displaystyle A\)中的一个元素.

定义 1.2.2（集合的基数）

对于集合\(\displaystyle S\),若 \(\displaystyle S\) 中恰有 \(\displaystyle n\) 个不同的元素,则称 \(\displaystyle S\) 是有限集, \(\displaystyle n\) 是 \(\displaystyle S\) 的基数,记为 \(\displaystyle |S|\)或\(\displaystyle \text{card}(S)\).如果一个集合不是有限集,那么它就是无限集.

为表示某些集合,我们可以列举出其所包含的全部元素,当一个集合的元素较多,或者它是无限集时,可以只写出几个元素,其他元素用省略号表示,要注意，写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素,例如小于100的正整数集合可以记为\(\displaystyle \{1,2,\cdots,99\}\).

但是,有相当一部分集合是不可列的,其中一个是不等式\(\displaystyle x-7<3\)的解集.解该不等式得到\(\displaystyle x<10\),无法用列举法表示（无法以某一顺序列出所有小于10的实数）,我们可以换种方法，抓住该集合中元素具有的共同特征：它们是实数且小于\(\displaystyle 10\),于是可以把这个集合写成\(\displaystyle \{x\in\mathbb{R}\mid x<10\}\).

定义 1.2.3（集合的描述法）

设 \(\displaystyle A\) 是一个集合,我们把集合 \(\displaystyle A\) 中所有具有共同特征 \(\displaystyle P(x)\) 的元素 \(\displaystyle x\) 所组成的集合表示为 \(\displaystyle \{x \mid P(x)\}\), 这种表示集合的方法称为描述法.

集合也可以用韦恩图形象地表示.在韦恩图中,全集\(\displaystyle U\)包含了所考虑的全部对象,用矩形框表示.在矩形框内部,一般用圆形表示集合,用点表示集合中特定的元素.韦恩图常用于直观表示集合之间的关系.

定义 1.2.4（子集）

若\(\displaystyle A,B\)满足$\(\displaystyle \forall x\in A\implies x\in B\)$

则称$\displaystyle A$是$\displaystyle B$的**子集**,记作$\displaystyle A\subseteq B$,否则称$\displaystyle A$不是$\displaystyle B$的子集,记作$\displaystyle A\nsubseteq B$.

若$\displaystyle A\subseteq B$且$\displaystyle A\neq B$,则称$\displaystyle A$是$\displaystyle B$的**真子集**,记作$\displaystyle A\subsetneq B$

集合运算

定义 1.2.5（集合的交、并、补、差运算）

对于集合\(\displaystyle A,B\)与全集\(\displaystyle U\),

由同时属于$\displaystyle A$与$\displaystyle B$的元素构成的集合称为$\displaystyle A$与$\displaystyle B$的**交集**,记作
$$\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\text{且}x\in B\}$$

由属于$\displaystyle A$或$\displaystyle B$的元素构成的集合称为$\displaystyle A$与$\displaystyle B$的**并集**,记作

\(\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\text{或}x\in B\}\).

多个集合的交,并运算可做如下简写：

\(\displaystyle A_1\cap A_2\cdots\cap A_n=\bigcap_{i=1}^{n} A_i \quad\quad A_1\cup A_2\cdots\cup A_n=\bigcup_{i=1}^{n} A_i\)

在全集$\displaystyle U$中,不属于$\displaystyle A$的所有元素构成的集合称为$\displaystyle A$在$\displaystyle U$中的**补集**,记作$\displaystyle \complement_U A$.

由属于$\displaystyle A$而不属于$\displaystyle B$的元素构成的集合称为$\displaystyle A$与$\displaystyle B$的**差集**,记作
$$\displaystyle A-B=\{x\mid x\in A\text{且}x\notin B\}\quad \text{或}\quad A\setminus B$$

问题

解答下述问题：

（1）证明集合的\(\displaystyle \cap,\cup\)运算满足分配律,即

\(\displaystyle A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)

$\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

（2）证明德摩根律(De Morgan's laws)：设\(\displaystyle U\)是全集,则集合\(\displaystyle A,B\)满足

\(\displaystyle \complement_U(A\cup B)=\complement_UA\cap \complement_UB\)

$\displaystyle \complement_U(A\cap B)=\complement_UA\cup \complement_UB$

提示：要证明集合\(\displaystyle A=B\),一般考虑证明“\(\displaystyle A\subseteq B\)且\(\displaystyle B\subseteq A\)”.

定义 1.2.6（笛卡尔积）

两个集合\(\displaystyle X,Y\)的笛卡尔积记作\(\displaystyle X\times Y\).

\(\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}\)

可将\(\displaystyle \underbrace{X\times X\times\cdots\times X}_{n\text{个}X}\)简写为\(\displaystyle X^n\),例如二维实平面可表示为\(\displaystyle \mathbb{R}^2\)；

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

A组

1. 【2013 上海学考22】设全集\(\displaystyle U=\mathbb{R}\)，下列集合运算结果为\(\displaystyle \mathbb{R}\)的是

   • \(\displaystyle Z\cup\complement_UN\)
   • \(\displaystyle N\cap\complement_UN\)
   • \(\displaystyle \complement_U\left(\complement_U\varnothing\right)\)
   • \(\displaystyle \complement_U\left\{0\right\}\)
   答案

   A. \(\displaystyle Z\cup\complement_UN=\mathbb{R}\)，故\(\displaystyle A\)选项正确． \(\displaystyle N\cap\complement_UN=\varnothing\)，故\(\displaystyle B\)选项错误． \(\displaystyle \complement_U\left(\complement_U\varnothing\right)=\complement_UU=\varnothing\)，故\(\displaystyle C\)选项错误． \(\displaystyle \complement_U\left\{0\right\}=\left\{x\left|x\ne0\right.\right\}\)，故\(\displaystyle D\)选项错误．

   1. 【1987全国卷理1】非空集合\(\displaystyle S,T\)满足\(\displaystyle S\nsubseteq T,T\nsubseteq S\),令\(\displaystyle X=S\cap T\),则\(\displaystyle S\cup X=\)

   2. \(\displaystyle X\)

   3. \(\displaystyle T\)
   4. \(\displaystyle \varnothing\)
   5. \(\displaystyle S\)