2.2条件最值

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讲义正文

条件最值

基本不等式

定理：基本不等式

已知正数\(\displaystyle a,b\),有 $\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\)$ 当且仅当\(\displaystyle a=b\)时,等号成立.

定理：基本不等式的一般形式

已知正数\(\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n\),有 $\(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\)$

当且仅当$\displaystyle a_1=a_2=\cdots =a_n$时,等号成立.

二元形式的基本不等式的证明过于简单，此处略证。一般形式的基本不等式的证明将在后续给出不同方式的证明。

柯西不等式

定理：二维形式的柯西不等式

若\(\displaystyle a,b,c,d\)都是实数,则 $\(\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant (ac+bd)^2\)$ 当且仅当\(\displaystyle ad=bc\)时,等号成立.

作差法证明二维形式的柯西不等式留作习题，下介绍柯西不等式的几何背景。在平面直角坐标系 \(\displaystyle xOy\) 中有向量 \(\displaystyle \vv{\alpha} = (a, b)\),\(\displaystyle \vv{\beta} = (c, d)\),记\(\displaystyle \vv{\alpha}\) 与 \(\displaystyle \vv{\beta}\) 的夹角为 \(\displaystyle \theta\)。据向量数量积的定义有 $\(\displaystyle \vv{\alpha} \cdot \vv{\beta} = |\vv{\alpha}| |\vv{\beta}| \cos \theta\)$

于是\(\displaystyle |\vv{\alpha} \cdot \vv{\beta}| = |\vv{\alpha}| |\vv{\beta}| |\cos \theta|\)，而\(\displaystyle |\cos \theta| \leqslant 1\),因此\(\displaystyle |\vv{\alpha} \cdot \vv{\beta}| \leqslant |\vv{\alpha}| |\vv{\beta}|\)，即$\(\displaystyle |ac + bd| \leqslant \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2}\)$

两边平方得到 $\(\displaystyle (ac + bd)^2 \leqslant (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)$

如果向量 \(\displaystyle \vv{\alpha}\) 和 \(\displaystyle \vv{\beta}\) 中有零向量,则 \(\displaystyle ad - bc = 0\),以上不等式取等号.如果向量 \(\displaystyle \vv{\alpha}\) 和 \(\displaystyle \vv{\beta}\) 都不是零向量,则当且仅当 \(\displaystyle |\cos \theta| = 1\),即向量 \(\displaystyle \vv{\alpha}\) 和 \(\displaystyle \vv{\beta}\) 共线时,以上不等式取等号.这时存在非零实数 \(\displaystyle k\),使 \(\displaystyle \vv{\alpha} = k\vv{\beta}\),即\(\displaystyle (a, b) = k(c, d)\),可得\(\displaystyle ad - bc =0.\)

观察柯西不等式的二维形式,进一步猜想其\(\displaystyle n\)维形式.

定理：柯西不等式的一般形式

若\(\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n\)都是实数,则 $\(\displaystyle (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots b_n^2)\geqslant (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\)$ 当且仅当\(\displaystyle b_i=0\)或存在一个数\(\displaystyle k\)使得\(\displaystyle a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\)时,等号成立.

证明

设\(\displaystyle A=a_1^2+a_2^2+\cdots,a_n^2,B=a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n,C=b_1^2+b^2_2+\cdots b_n^2\)， 即证\(\displaystyle AC\geqslant B^2\).考虑二次函数\(\displaystyle f\,(x)= Ax^2+2Bx+C=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)x^2+2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\).可知 $\(\displaystyle f\,(x)=(a_1x+b_1)^2+(a_2x+b_2)^2+\cdots +(a_n x+b_n)^2\geqslant 0\)$

故\(\displaystyle f\,(x)\)的判别式\(\displaystyle \Delta =4B^2-4AC\leqslant 0\),即\(\displaystyle B^2\leqslant AC\).当且仅当\(\displaystyle a_ix+b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\)时取等.当\(\displaystyle x=0\)时,\(\displaystyle b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\),当\(\displaystyle x\neq 0\)时,\(\displaystyle a_i=-\frac{b_i}{x}(i=1,2\cdots, n)\),即存在\(\displaystyle k\),使得\(\displaystyle a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\)时取等.

排序不等式

看这个问题：\footnote{取自【2015浙江文6】}有三个房间需要粉刷, 要求每个房间只用一种颜色, 且三个房间 颜色各不相同. 已知三个房间的粉刷面积 (单位:\(\displaystyle \text{m}^2\)) 分别为 \(\displaystyle x, y, z\), 且 \(\displaystyle x < y < z\), 三种颜色涂料的粉刷费用 (单位: \(\displaystyle \text{元/m}^2\)) 分别为 \(\displaystyle a, b, c\), 且 \(\displaystyle a < b < c\). 求粉刷的最小总费用.

简化情况进行探究。设\(\displaystyle a=x=1,b=y=2,c=z=3\).计算各种组合发现：\(\displaystyle ax+by+cz=14\)为总费用最大值,\(\displaystyle az+by+cx=10\)为总费用最小值。观察到最大值出现在\(\displaystyle a,b,c\)与\(\displaystyle x,y,z\)皆为升序排列时,最小值出现在其中一个序列升序排列,另一序列降序排列时.于是做出猜想（已被验证正确,此处写成定理形式）

定理：排序不等式

设\(\displaystyle a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n,b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots \leqslant b_n\)为两组实数,\(\displaystyle c_1,c_2,\cdots,c_n\)是\(\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_n\)的任一排列,则 $\(\displaystyle a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\leqslant a_1c_1+a_2c_2+\cdots +a_nc_n\leqslant a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\)$ 记不等式最左侧的和为反序和,不等式最右侧的和为顺序和,当且仅当\(\displaystyle a_1=a_2=\cdots=a_n\)或\(\displaystyle b_1=b_2=\cdots=b_n\)时,反序和等于顺序和.

证明

因为\(\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_n\)的全排列只有\(\displaystyle n!\)种,所以 $\(\displaystyle S=a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_nc_n\eqno{(1)}\)$ 的不同的值只有有限个,其中必有最大值和最小值.

考虑$\displaystyle (1)$式,若$\displaystyle c_1\neq b_1$,则有某$\displaystyle c_k=b_1,c_1>c_k$.将$\displaystyle (1)$中$\displaystyle c_1,c_k$对换,得$$\displaystyle S'=a_1c_k+\cdots+a_kc_1+\cdots+a_nc_n\eqno{(2)}$$

$\displaystyle (2)-(1)$得$$\displaystyle S'-S=a_1c_k+a_kc_1-a_1c_1-a_kc_k=(a_k-a_1)(c_1-c_k)\geqslant 0$$

这说明将$\displaystyle (1)$中的第一项调换为$\displaystyle a_1b_1$后,和式不减小.

若$\displaystyle a_1=b_1$,转而考察$\displaystyle c_2$并进行类似讨论.可以证明,将$\displaystyle (1)$中的第一项换为$\displaystyle a_1b_1$,第二项换为$\displaystyle a_2b_2$后,和式不减小.
如此进行下去,经有限步调整,可知在一切和式中,最大和式对应的情况只可能是$\displaystyle b_i$由小到大排序,对应顺序和$\displaystyle S_1$。同理可证,最小和数是反序和$\displaystyle S_2$,即$\displaystyle S_2\leqslant S\leqslant S_1$

问题

参考排序不等式的证明思路，利用逐步调整法证明基本不等式的一般形式。

提示：设\(\displaystyle a_1+a_2+\cdots +a_n=p\)，证明\(\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant \frac{p}{n}\)

琴生不等式

有一类函数满足下述特殊性质，设其解析式为\(\displaystyle y=f(x)\),在其图象上任取不重合的两点\(\displaystyle A,B\)，连接\(\displaystyle AB\)得到图象的一条弦，这条弦处在图象的上方，例如\(\displaystyle y=x^2,y=\mathrm{e}^x\)等。考虑这一性质的代数形式，设点\(\displaystyle A(x,f(x)),B(y,f(y))\)，弦\(\displaystyle AB\)上的点\(\displaystyle P\)满足\(\displaystyle \vv{OP}=\lambda \vv{OA}+(1-\lambda)\vv{OB}\)，代入\(\displaystyle A,B\)坐标得到\(\displaystyle P(\lambda x+(1-\lambda)y, \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y))\)，于是对任意\(\displaystyle \lambda\in[0,1]\)，点\(\displaystyle P\)的纵坐标都不小于其横坐标对应的函数值，即 $\(\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant \lambda f\,(x)+(1-\lambda)f\,(y)\)$

我们把满足上述性质的函数称为凸函数，具体定义如下：

定义 1.2.6（凸函数）

设函数 \(\displaystyle y=f\,(x)\)的定义域为\(\displaystyle I\)，\(\displaystyle f\,(x)\) 称为凸函数（Convex Function）当且仅当对任意 \(\displaystyle x,y\in I\)和 \(\displaystyle 0\leqslant\lambda\leqslant1\)，有 $\(\displaystyle f\,(\lambda x+(1-\lambda)y) \leqslant \lambda f\,(x)+(1-\lambda)f\,(y).\eqno{(1)}\)$

命题

设凸函数\(\displaystyle y=f\,(x)\)的定义域为\(\displaystyle I\)，则对任意\(\displaystyle x_1,x_2\in I\)，有 $\(\displaystyle f\,(\frac{x_1+x_2}{2})\leqslant \frac{f\,(x_1)+f\,(x_2)}{2}\)$

定理：琴生不等式

设凸函数\(\displaystyle y=f\,(x)\)的定义域为\(\displaystyle I\)，则对任意\(\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in I,\) 和 \(\displaystyle \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1,0\leqslant\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\leqslant1\)，有 $\(\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f\,(x_i),\)$

证明

用数学归纳法，当 \(\displaystyle n=2\) 时，命题成立。假设当\(\displaystyle n=k\) 时命题成立。考虑 \(\displaystyle n=k+1\)的情况。 若 \(\displaystyle \lambda_{k+1}=1\)，则 \(\displaystyle \lambda_1=\cdots=\lambda_k=0\)，从而 \(\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right) =f(x_{n+1}) =\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i f(x_i),\)结论成立。

若 \(\displaystyle \lambda_{k+1}\neq1\)，令 \(\displaystyle \mu_i=\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}, i=1,2,\ldots,n.\) 由于 \(\displaystyle \lambda_i\geqslant0\)，所以 \(\displaystyle \mu_i\geqslant0\)，并且 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mu_i =1.\) 设 \(\displaystyle y=\sum_{i=1}^{k}\mu_i x_i.\)，于是 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i = (1-\lambda_{k+1})y+\lambda_{k+1}x_{k+1}.\)由凸函数定义， $\(\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i\right) \leqslant (1-\lambda_{k+1})f(y) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1}).\)$

由归纳假设， \(\displaystyle f(y) = f\left(\sum_{i=1}^{k}\mu_i x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^{k}\mu_i f(x_i).\)，因此 $\(\displaystyle \begin{aligned} f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i\right) &\leqslant (1-\lambda_{k+1}) \sum_{i=1}^{k}\mu_i f(x_i) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i f(x_i) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &= \sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i f(x_i). \end{aligned}\)$

于是完成了证明。

\iffalse 若 \(\displaystyle f\) 为严格凸函数，且 \(\displaystyle \lambda_i>0\)，则等号成立当且仅当 $\(\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_n.\)$

二、凸函数图像位于任意弦段下方

设 \(\displaystyle x<y\)，\(\displaystyle z\in[x,y]\)。令 $\(\displaystyle t=\frac{y-z}{y-x}.\)$

则 $\(\displaystyle 1-t=\frac{z-x}{y-x},\)$ 并且 $\(\displaystyle z=tx+(1-t)y.\)$

由凸函数定义， $\(\displaystyle f(z) \leqslant tf(x)+(1-t)f(y).\)$

代入 \(\displaystyle t\) 和 \(\displaystyle 1-t\)，得 $\(\displaystyle f(z) \leqslant \frac{y-z}{y-x}f(x) + \frac{z-x}{y-x}f(y).\)$

右端正是连接点 \(\displaystyle \left(x,f(x)\right)\) 与 \(\displaystyle \left(y,f(y)\right)\) 的弦线在 \(\displaystyle z\) 处的函数值。因此，凸函数的图像位于任意弦段的下方。

三、凸函数的割线斜率单调不减

设 \(\displaystyle x<y<z\)。由 $\(\displaystyle y= \frac{z-y}{z-x}x + \frac{y-x}{z-x}z,\)$ 以及凸函数定义，得 $\(\displaystyle f(y) \leqslant \frac{z-y}{z-x}f(x) + \frac{y-x}{z-x}f(z).\)$

两边同时乘以 \(\displaystyle z-x\)，得 $\(\displaystyle (z-x)f(y) \leqslant (z-y)f(x)+(y-x)f(z).\)$

整理可得 $\(\displaystyle (y-x)\left[f(z)-f(y)\right] \geqslant (z-y)\left[f(y)-f(x)\right].\)$

由于 \(\displaystyle (y-x)(z-y)>0\)，所以 $\(\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant \frac{f(z)-f(x)}{z-x} \leqslant \frac{f(z)-f(y)}{z-y}.\)$

因此，凸函数的割线斜率具有单调不减性。

四、凸函数在区间内部连续

设 \(\displaystyle x_0\) 是区间 \(\displaystyle I\) 的内点，取 \(\displaystyle a<x_0<b\)，其中 \(\displaystyle [a,b]\subset I\)。

当 \(\displaystyle x\in(x_0,b)\) 时， $\(\displaystyle x_0= \frac{b-x_0}{b-x}x + \frac{x-x_0}{b-x}b.\)$

由凸函数定义， $\(\displaystyle f(x_0) \leqslant \frac{b-x_0}{b-x}f(x) + \frac{x-x_0}{b-x}f(b).\)$

整理得 $\(\displaystyle f(x) \geqslant f(x_0) + \frac{x-x_0}{b-x_0} \left[f(x_0)-f(b)\right].\)$

另一方面， $\(\displaystyle x= \frac{b-x}{b-x_0}x_0 + \frac{x-x_0}{b-x_0}b.\)$

再次由凸函数定义， $\(\displaystyle f(x) \leqslant \frac{b-x}{b-x_0}f(x_0) + \frac{x-x_0}{b-x_0}f(b).\)$

当 \(\displaystyle x\to x_0^+\) 时，上述两个不等式的左右两端均趋于 \(\displaystyle f(x_0)\)，因此 $\(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0).\)$

同理可得 $\(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0).\)$

故 $\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),\)$ 即凸函数在区间内部连续。

五、可导凸函数的切线性质

设 \(\displaystyle f\) 在区间 \(\displaystyle I\) 内可导。任取 \(\displaystyle x_0,x\in I\)，则有 $\(\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\)$

先设 \(\displaystyle x>x_0\)。由割线斜率单调不减性，对任意 \(\displaystyle h>0\)，有 $\(\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} \leqslant \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\)$

令 \(\displaystyle h\to0^+\)，得到 $\(\displaystyle f'(x_0) \leqslant \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\)$

由于 \(\displaystyle x-x_0>0\)，所以 $\(\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\)$

当 \(\displaystyle x<x_0\) 时，同理可得相同结论。

因此，可导凸函数的图像始终位于任意切线的上方。

六、凸函数的内部极大值性质

设 \(\displaystyle f\) 在区间 \(\displaystyle I\) 上为凸函数，且在内点 \(\displaystyle x_0\) 处取得局部最大值。

取任意 \(\displaystyle x<x_0<y\)。存在 \(\displaystyle \lambda\in(0,1)\)，使得 $\(\displaystyle x_0=\lambda x+(1-\lambda)y.\)$

由凸函数定义， $\(\displaystyle f(x_0) \leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).\)$

由于 \(\displaystyle x_0\) 是局部最大值点，当 \(\displaystyle x,y\) 足够接近 \(\displaystyle x_0\) 时， $\(\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0), \qquad f(y)\leqslant f(x_0).\)$

因此 $\(\displaystyle \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \leqslant \lambda f(x_0)+(1-\lambda)f(x_0) =f(x_0).\)$

结合前面的不等式，得到 $\(\displaystyle \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)=f(x_0).\)$

由于 \(\displaystyle \lambda\in(0,1)\)，只能有 $\(\displaystyle f(x)=f(y)=f(x_0).\)$

因此，非恒定凸函数不可能在区间内部取得最大值；若凸函数在区间内部取得最大值，则该函数必为常函数。

\fi

当所有权重相等，即\(\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=\frac1n\) 时，得到 $\(\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \leqslant \frac{f\,(x_1)+f\,(x_2)+\cdots+f\,(x_n)}{n}\)$

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