7.1曲线与区域的代数表示
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讲义正文
曲线与区域的代数表示
A 组习题
习题
A组
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【2024北京10】已知\(\displaystyle M=\left\{\left(x,y\right)|y=x+t\left(x^2-x\right),1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant t\leqslant 1\right\}\)是平面直角坐标系中的点集，设\(\displaystyle d\)是\(\displaystyle M\)中两点间距离的最大值，\(\displaystyle S\)是\(\displaystyle M\)表示的图形的面积，则
- \(\displaystyle d=3,S<1\)
- \(\displaystyle d=3,S>1\)
- \(\displaystyle d=\sqrt{10},S<1\)
- \(\displaystyle d=\sqrt{10},S>1\)
答案
\par 新答案（来源：1.25 曲线的方程和平面点集.md）： C
【解题思路】思路1：当\(\displaystyle 1\leqslant x\leqslant2\)，\(\displaystyle 0\leqslant t\leqslant1\)时，\(\displaystyle y=x+t\left(x^2-x\right)\geqslant1\)且\(\displaystyle y=x+t\left(x^2-x\right)\leqslant4\)，即\(\displaystyle 1\leqslant y\leqslant4\)．
而\(\displaystyle A\left(1,1\right)\in M\)，\(\displaystyle B\left(2,4\right)\in M\)，所以\(\displaystyle M\)中两点间距离的最大值为\(\displaystyle \left|AB\right|=\sqrt{10}\)．
对于每个\(\displaystyle x\in\left[1,2\right]\)，\(\displaystyle y\)的取值范围是\(\displaystyle \left[x,x^2\right]\)，于是\(\displaystyle M\)表示的区域是\(\displaystyle y=x\)，\(\displaystyle y=x^2\)，\(\displaystyle x=1\)，\(\displaystyle x=2\)围成的封闭区域．
这个区域的面积\(\displaystyle S=\int_{1}^{2}\left(x^2-x\right)dx=\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{1}^{2}-\left.\frac{1}{2}x^2\right|_{1}^{2}=\frac{7}{3}-\frac{3}{2}=\frac{5}{6}<1\)．
思路2：画出\(\displaystyle M\)表示的区域如上图，这个区域是曲边三角形\(\displaystyle ABC\)，它的面积\(\displaystyle S\)小于\(\displaystyle \triangle ABC\)的面积．而\(\displaystyle \triangle ABC\)的面积是
\[\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times1=1\]所以\(\displaystyle S<1\)．
- 【2007江苏10】 在平面直角坐标系 \(\displaystyle xOy\), 已知平面区域 \(\displaystyle A = \left\{\left(x,y\right)|x+y \leqslant 1, \text{且} x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}\), 求平面区域 \(\displaystyle B = \left\{\left(x+y,x-y\right)|\left(x,y\right) \in A\right\}\) 的面积。
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设 \(\displaystyle f\) 是直角坐标平面 \(\displaystyle xOy\) 到自身的一个映射, 点 \(\displaystyle P\left(x,y\right)\) 在映射 \(\displaystyle f\) 下的象是点 \(\displaystyle Q\left(-\frac{y}{2},\frac{x}{2}\right)\), 记作 \(\displaystyle Q=f\left(P\right)\). 已知 \(\displaystyle P_1\left(16,8\right)\), \(\displaystyle P_{n+1}=f\left(P_n\right)\), 其中 \(\displaystyle n=1,2,3,\cdots\). 那么对于任意正整数 \(\displaystyle n\)
4. 【2011江苏14】设集合 \(\displaystyle A=\left\{\left(x,y\right)\left|\frac{m}{2} \leqslant \left(x-2\right)^2+y^2 \leqslant m^2\right.,x,y \in \mathbb{R}\right\},B=\left\{\left(x,y\right)|2m \leqslant x+y \leqslant 2m+1,x,y \in \mathbb{R}\right\}\) .若 \(\displaystyle A \cap B \neq \varnothing\), 求实数 \(\displaystyle m\) 的取值范围。 5. 【2007浙江理17】 设 \(\displaystyle m\) 为实数, 若 \(\displaystyle \left\{\left(x,y\right) \mid \begin{cases} x-2y+5 \geqslant 0, \\ 3-x \geqslant 0, \\ mx+y \geqslant 0. \end{cases}\right\} \subseteq \left\{\left(x,y\right) \mid x^2+y^2 \leqslant 25\right\}\), 求 \(\displaystyle m\) 的取值范围。 6. 【2024“数海漫游三模”（网络联考）19】 在平面直角坐标系\(\displaystyle xOy\)中，若点\(\displaystyle P\)的横坐标与纵坐标均为整数，则称\(\displaystyle P\)为整点。对于\(\displaystyle xOy\)中的任意闭合区域\(\displaystyle S\)，记\(\displaystyle S\)中的整点个数为\(\displaystyle \text{Int}[S]\)。存在点 \(\displaystyle M\), 使得 \(\displaystyle |MP_n|\leqslant 10\)
- 不存在点 \(\displaystyle M\), 使得 \(\displaystyle |MP_n|\leqslant 5\sqrt{5}\)
- 存在无数个点 \(\displaystyle M\), 使得 \(\displaystyle |MP_n|\leqslant 6\sqrt{5}\)
- 存在唯一的点 \(\displaystyle M\), 使得 \(\displaystyle |MP_n|\leqslant 8\sqrt{5}\)
- 求\(\displaystyle \text{Int}\left[\left\{(x, y) \middle| x^2 + y^2 \leqslant 5\right\}\right]\)；
- 若对任意\(\displaystyle x_0, y_0\)，\(\displaystyle \text{Int}\left[\left\{(x, y) \middle| (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 \leqslant m\right\}\right] \geqslant 1\)，求\(\displaystyle m\)的最小值；
- 若\(\displaystyle G \in \mathbb{N}^*\)，\(\displaystyle S_1 = \left\{(x, y) \middle| |x+y| + |x-y| \leqslant 2G^2\right\}\)，\(\displaystyle S_2 = \left\{(x, y) \middle| \left|x^2 - 2y^2\right| < G^2\right\}\)，证明： $\(\displaystyle \text{Int}[S_1 \cap S_2] > (4 - \sqrt{2}) G^4\)$
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