1.5数域
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讲义正文
数域
在小学,我们学习了自然数的加法,两个自然数相加,永远会得到一个自然数,但考虑减法时,比如\(\displaystyle 3-5\),就不知道结果是什么了,直到引入负数才得以解决这一问题,我们对数的认知也就从自然数集\(\displaystyle \mathbb{N}\)扩充到整数集\(\displaystyle \mathbb{Z}\).于此同时,在考虑两自然数之商时,也是通过引入分数的概念才得以解决,至此,我们对数的理解局限在有理数集\(\displaystyle \mathbb{Q}\)中,任取内部两个元素进行四则运算（除法保证除数不为0）,结果仍属于\(\displaystyle \mathbb{Q}\).
在中学二年级引入平方根后,我们发现：\(\displaystyle \sqrt{2}\)是无限不循环小数,我们也可以证明\(\displaystyle \sqrt{2}\)不是有理数,由此认识了无理数\footnote{无理数（Irrational Number）,有理数（Rational Number）实际上应分别译为“非比数”与“可比数”.},并将有理数与无理数并称为实数,我们对数的认识扩充到整个实数域\(\displaystyle \mathbb{R}\).
对于某个三次方程,利用平凡的方法可以得到实数解,但在三次方程求根公式中,求解这个根的表达式需要对负数开平方,如果设\(\displaystyle \sqrt{-1}\)为某个变元,经过层层化简后,这个变元又消失了,于是得到了对应的实数解,这样来看,引入对负数开平方的操作也不无道理.我们现在称\(\displaystyle \sqrt{-1}=\mathrm{i}\),这就又引进了复数,由此,我们对数的认识扩充到了整个复数域\(\displaystyle \mathbb{C}\).
回忆对数的认知过程,我们发现,如果要想弄清楚某个集合及定义在其上的运算\(\displaystyle \oplus\),最好先确定：如果我们任取两个元素\(\displaystyle a,b\in A\),\(\displaystyle a\oplus b\)会不会“跑到\(\displaystyle A\)的外面去”？从这个想法出发,我们引申出关于运算封闭的概念.
定义 1.5.1（关于运算封闭）
设 \(\displaystyle \oplus\) 是在 \(\displaystyle \mathbb{C}\) 上的某种运算, \(\displaystyle A\) 是 \(\displaystyle \mathbb{C}\) 的非空子集. 若对任意 \(\displaystyle a,b\in A\), 有 \(\displaystyle a\oplus b\in A\), 则称 \(\displaystyle A\) 关于运算 \(\displaystyle \oplus\) 封闭.（若 \(\displaystyle \oplus\) 是除法, 则还要求除数不为0.）
定义 1.5.2（数域）
满足关于加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集叫做数域,规定集合 \(\displaystyle \{0\}\) 不是数域.
问题
下列集合中,是数域的是
自然数集 \(\displaystyle \mathbb{N}\),整数集 \(\displaystyle \mathbb{Z}\),偶数集,奇数集,有理数集 \(\displaystyle \mathbb{Q}\),无理数集,复数集 \(\displaystyle \mathbb{C}\)
问题
证明: 集合 \(\displaystyle \mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\) 是数域.
问题
设 \(\displaystyle A\) 是 \(\displaystyle \mathbb{C}\) 的非空子集：
- 如果集合 \(\displaystyle A\) 关于减法运算封闭, 说明 \(\displaystyle 0\in A\)；
- 如果集合 \(\displaystyle A\) 关于除法运算封闭（除数不等于0）, 且 \(\displaystyle A\) 包含非零元素, 说明 \(\displaystyle 1\in A\)；
- 若 \(\displaystyle A\) 关于加法和减法运算封闭, 且 \(\displaystyle 1\in A\), 证明 \(\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq A\)；
- 若 \(\displaystyle A\) 关于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算封闭, 证明 \(\displaystyle \mathbb{Q}\subseteq A\)；
A 组习题
本节习题
- 写出包含\(\displaystyle \sqrt[3]{2}\)的最小数域,并证明它是数域.