7.4其他类型的曲线与一般分析方式

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讲义正文

其他类型的曲线与一般分析方式

A 组习题

习题

A组

【2006辽宁理10】 求直线 $\displaystyle y = 2k$ 与曲线 $\displaystyle 9k^2x^2 + y^2 = 18k^2|x|$ ($\displaystyle k \in \mathbb{R}$且 $\displaystyle k \neq 0$) 的公共点的个数。
【2026佛山一模8】下列曲线中，与曲线$\displaystyle y=x^3-3x$交点个数最多的是
- $\displaystyle y=-2x$
- $\displaystyle |x|+|y|=2$
- $\displaystyle y^2=4$
- $\displaystyle |y|=x^2$
3. 【2024新高考I卷11】（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线 $\displaystyle C$ 的一部分。已知 $\displaystyle C$ 过坐标原点 $\displaystyle O$，且 $\displaystyle C$ 上的点满足：横坐标大于 $\displaystyle -2$；到点 $\displaystyle F\left(2, 0\right)$ 的距离与到定直线 $\displaystyle x = a \left(a < 0\right)$ 的距离之积为 $\displaystyle 4$，则
- $\displaystyle a = -2$
- 点 $\displaystyle \left(2\sqrt{2}, 0\right)$ 在 $\displaystyle C$ 上
- $\displaystyle C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $\displaystyle 1$
- 当点 $\displaystyle \left(x_0, y_0\right)$ 在 $\displaystyle C$ 上时，$\displaystyle y_0 \leqslant \frac{4}{x_0 + 2}$
4. 【2024“fiddie模拟测试”11】（多选）公元前180年，古希腊数学家Diocle研究倍立方问题时发现了蔓叶线，已知蔓叶线$\displaystyle C:y^2=\frac{x^3}{1-x},A\left(1,0\right),B\left(0,2\right)$，线段$\displaystyle AB$与曲线$\displaystyle C$交于点$\displaystyle M$，过点$\displaystyle A$作$\displaystyle x$轴的垂线，与直线$\displaystyle OM$交于点$\displaystyle D$，以$\displaystyle OA$为直径作圆，交直线$\displaystyle OD$于点$\displaystyle Q$，则下列命题正确的是
- 若点$\displaystyle P\left(x_0,y_0\right)$在$\displaystyle C$上，则$\displaystyle x_0\in\left[0,1\right)$
- $\displaystyle |OM|=1$
- $\displaystyle AD=\sqrt[3]{2}$
- $\displaystyle |OQ|=|MD|$
5. 【2026“漫游数海”预测卷11】曲线 $\displaystyle C_1: x^2y = 8$ 沿向量 $\displaystyle \mathrm{e} = (1, 2)$ 平移后所得曲线 $\displaystyle C_2$ 与直线 $\displaystyle l: 2x + y - a = 0$ 相切，则
- $\displaystyle a = 10$
- $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle C_2$ 有且仅有1个公共点
- $\displaystyle C_1$ 与 $\displaystyle C_2$ 有2个公共点
- $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle C_1$ 有3个公共点
6. 【2023上海16改编】（多选）对于一段曲线$\displaystyle C$，若存在$\displaystyle M$点，使得对于任意的$\displaystyle P\in C$，都存在$\displaystyle Q\in C$，使得$\displaystyle |PM|\cdot|QM|=1$，则称曲线$\displaystyle C$为“自相关曲线”，对于下列曲线，其某种情况可能成为“自相关曲线”的是
- 直线
- 椭圆
- 双曲线
- $\displaystyle y=k\frac{x^2}{|x|}+b\left(k,b\in\mathbb{R_+}\right)$
答案

对于（1）,考虑椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$,$\displaystyle M\left(x_0,y_0\right)$,对任意 $\displaystyle P\left(x_1,y_1\right)$,等式 $\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert\cdot\left\lvert\vv{QM}\right\rvert=1$ 可转化为关于 $\displaystyle Q\left(x,y\right)$ 的方程 $$\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert\cdot\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2\right]=1.\eqno{*}$$

当 $\displaystyle M\notin\Gamma$ 时,对任意点 $\displaystyle P$,都有 $\displaystyle \left(x_1-x_0\right)^2+\left(y_1-y_0\right)^2\ne0$,所以上述方程即 $\displaystyle Q$ 位于以 $\displaystyle M$ 为圆心、$\displaystyle \frac1{\left\lvert\vv{PM}\right\rvert}$ 为半径的圆 $\displaystyle C$ 上.

当 $\displaystyle M$ 离椭圆充分远（记为 $\displaystyle M_1$）的时候,$\displaystyle \frac1{\left\lvert\vv{PM}\right\rvert}$ 很小,所以圆 $\displaystyle C$ 与椭圆 $\displaystyle \Gamma$ 相离；

当 $\displaystyle M$ 离椭圆充分近（记为 $\displaystyle M_2$）的时候,$\displaystyle \frac1{\left\lvert\vv{PM}\right\rvert}$ 很大,所以圆 $\displaystyle C$ 位于椭圆 $\displaystyle \Gamma$ 内部（内含）.

所以如果点 $\displaystyle M$ 从 $\displaystyle M_1$ 开始沿着线段 $\displaystyle M_1M_2$ 移动到 $\displaystyle M_2$,圆 $\displaystyle C$ 与椭圆 $\displaystyle \Gamma$ 会经历内含 $\displaystyle \Rightarrow$ 内切 $\displaystyle \Rightarrow$ 相交 $\displaystyle \Rightarrow$ 外切 $\displaystyle \Rightarrow$ 相离的过程,即必定存在一点 $\displaystyle M$,使得对任意 $\displaystyle P\in\Gamma$,使得 $\displaystyle Q\in\Gamma$ 并且 $\displaystyle Q$ 满足方程 $\displaystyle \left(*\right)$,即存在 $\displaystyle Q\in\Gamma$ 使得 $\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert\cdot\left\lvert\vv{QM}\right\rvert=1$.因此（1）是真命题.

对于（2）,对任意点 $\displaystyle M$,若 $\displaystyle M$ 在双曲线 $\displaystyle \Gamma$ 上,则当 $\displaystyle P=M$ 时,$\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert\cdot\left\lvert\vv{QM}\right\rvert=0$,不符合要求；

若 $\displaystyle M$ 不在双曲线 $\displaystyle \Gamma$ 上,则 $\displaystyle M$ 到 $\displaystyle \Gamma$ 的距离 $\displaystyle d>0$,此时存在 $\displaystyle P\in\Gamma$ 离 $\displaystyle M$ 充分远,使得 $\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert>\frac1d$,从而 $\displaystyle \left\lvert\vv{PM}\right\rvert\cdot\left\lvert\vv{QM}\right\rvert>\frac1d\cdot d=1$,不符合要求.故（2）是假命题.

综上,（1）是真命题,（2）是假命题.
1. 【2006上海理11】若曲线 $\displaystyle y^2 = |x| + 1$ 与直线 $\displaystyle y = kx + b$ 没有公共点, 则 $\displaystyle k,b$ 分别应满足的条件是$\displaystyle (\triangle)$.
2. 【2011北京理14】曲线 $\displaystyle C$ 是平面内与两个定点 $\displaystyle F_1\left(-1,0\right)$ 和 $\displaystyle F_2\left(1,0\right)$ 的距离的积等于常数 $\displaystyle a^2$ ($\displaystyle a>1$) 的点的轨迹. 给出下列三个结论：
（1）曲线 $\displaystyle C$ 过坐标原点；

（2）曲线 $\displaystyle C$ 关于坐标原点对称；

（3）若点 $\displaystyle P$ 在曲线 $\displaystyle C$ 上, 则 $\displaystyle \triangle F_1PF_2$ 的面积不大于 $\displaystyle \frac{1}{2}a^2$；

其中, 所有正确结论的序号是$\displaystyle (\triangle)$
答案

新答案（来源：1.25 曲线的方程和平面点集.md）： $\displaystyle 6$；$\displaystyle 6,7,8$

【解题思路】解法1：如图，线段$\displaystyle AD$，$\displaystyle BC$与直线$\displaystyle y=1$，$\displaystyle y=2$的交点为$\displaystyle E, F, G, H$，则四边形$\displaystyle ABCD$内部的整点只能出现在线段$\displaystyle EF, GH$上，而$\displaystyle \left|EF\right|=\left|GH\right|=4$，所以符合条件的整点最多有$\displaystyle 8$个，最少有$\displaystyle 6$个，通过作图可知$\displaystyle N\left(t\right)$的所有可能取值为$\displaystyle 6$，$\displaystyle 7$，$\displaystyle 8$．

解法2：如图，设点$\displaystyle E$坐标为$\displaystyle \left(t,1\right)$，则$\displaystyle F\left(t+4,1\right)$，$\displaystyle H\left(2t,2\right)$，$\displaystyle G\left(2t+4,2\right)$，分四种情况讨论：

（1）若$\displaystyle t\in\mathbb{Z}$，则$\displaystyle 2t\in\mathbb{Z}$，此时线段$\displaystyle EF, GH$上符合条件的整点各有$\displaystyle 3$个，即$\displaystyle N\left(t\right)=6$．

（2）若$\displaystyle t\notin\mathbb{Z}$，但$\displaystyle 2t\in\mathbb{Z}$，此时线段$\displaystyle EF, GH$上符合条件的整点分别为$\displaystyle 4$个和$\displaystyle 3$个，即$\displaystyle N\left(t\right)=7$．

（3）若$\displaystyle 2t\notin\mathbb{Z}$，则$\displaystyle t\notin\mathbb{Z}$，此时线段$\displaystyle EF, GH$上符合条件的整点各有$\displaystyle 4$个，即$\displaystyle N\left(t\right)=8$．

综上所述，$\displaystyle N\left(t\right)$的所有可能取值为$\displaystyle 6$，$\displaystyle 7$，$\displaystyle 8$．

【实测数据】本题文科平均分$\displaystyle 1.69$分，难度为$\displaystyle 0.34$，相关系数$\displaystyle 0.57$，鉴别指数$\displaystyle 0.49$．

本题第一个空$\displaystyle 3$分，第二个空$\displaystyle 2$分．得$\displaystyle 0$分的比率为$\displaystyle 47.12\%$，得$\displaystyle 2$分的比率为$\displaystyle 0.05\%$，得$\displaystyle 3$分的比率为$\displaystyle 47.72\%$，得$\displaystyle 5$分的比率为$\displaystyle 5.12\%$．第一个空的得分率为$\displaystyle 0.48$，第二个空的得分率为$\displaystyle 0.0517$．

【易错警示】本题的解答过程中考生出现的主要错误有

①题型新，读不懂题．

②不会用实验、探究、归纳等思维方法去分析问题，不会通过由特殊到一般的方法寻找规律．

③探索不彻底，三种情况没有找全．
```
 新答案（来源：1.25 曲线的方程和平面点集.md）：
```
C

【解题思路】①经过了$\displaystyle \left(-1,0\right),\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(0,-1\right),\left(1,1\right),\left(-1,1\right)$．

②只需证$\displaystyle x^2+y^2\leqslant2$．由基本不等式，$\displaystyle x^2+y^2=1+\left|x\right|y\leqslant1+\frac{x^2+y^2}{2}$，化简得$\displaystyle x^2+y^2\leqslant2$．

③第一、二象限部分的面积比$\displaystyle 1$大，而第三、四象限的面积比$\displaystyle \frac{1}{2}$大，所以错误．（上面图中红色线段围成的区域面积就是$\displaystyle 3$）

注：事实上，利用正交变换，可以把$\displaystyle x<0$的部分逆时针旋转$\displaystyle 45^\circ$，把$\displaystyle x>0$的部分顺时针旋转$\displaystyle 45^\circ$然后再对得到的图形关于$\displaystyle x$轴作用对称变换，得到的曲线是由两个"半椭圆"构成的图形，如下图．

绕$\displaystyle O$逆时针旋转$\displaystyle 45^\circ$

绕$\displaystyle O$顺时针旋转$\displaystyle 45^\circ$，再关于$\displaystyle x$轴对称变换

具体而言，在$\displaystyle x<0$的部分令

\[\displaystyle \begin{cases}x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},\\ y=\frac{-u+v}{\sqrt{2}}.\end{cases}\]

；在$\displaystyle x>0$的部分令

\[\displaystyle \begin{cases}x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},\\ y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}.\end{cases}\]

代入$\displaystyle x^2+y^2=1+\left|x\right|y$，

那么曲线方程变为$\displaystyle \frac{u^2}{2}+\frac{v^2}{\frac{2}{3}}=1$，它是一个半长轴为$\displaystyle a=\sqrt{2}$、半短轴为$\displaystyle b=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$的椭圆，所以面积的值是

\[\displaystyle S=\pi ab=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}\approx3.627\]

【实测数据】本题理科难度$\displaystyle 0.72$，区分度$\displaystyle 0.41$．选$\displaystyle A$的考生占$\displaystyle 24.93\%$，选$\displaystyle B$的考生占$\displaystyle 3.66\%$，选$\displaystyle C$的考生占$\displaystyle 69.07\%$，选$\displaystyle D$的考生占$\displaystyle 2.29\%$．

【易错警示】考生失分的主要原因是：

一、考生代数论证能力较差，当考生通过求曲线与坐标轴的交点发现四个整点$\displaystyle \left(1,0\right)$、$\displaystyle \left(-1,0\right)$、$\displaystyle \left(0,1\right)$、$\displaystyle \left(0,-1\right)$时，然后结合图形与验证方程发现$\displaystyle \left(1,1\right)$、$\displaystyle \left(-1,1\right)$满足题意，所以共$\displaystyle 6$个整点，所以①对，但是对②就判断不了，主要是对方程$\displaystyle x^2+y^2=1+\left|x\right|y$与曲线$\displaystyle C$上任意一点$\displaystyle P$到原点的距离$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}$之间的关联点找不到，是因为代数变形能力较差，没有消去绝对值与用均值不等式凑目标的意识，也没有配方用三角换元的意识，所以导致（2）的判断受阻，就误认为②错，从而错选$\displaystyle A$．

二、考生估算意识较差．对于③，主要是估算判断，但是考生想用定积分的方法求面积，曲线太复杂，无法计算．事实上，在第①的结论下，容易估算出图形的面积大于$\displaystyle 3$，只能排除$\displaystyle D$，没有②的正确判断，无法确认是$\displaystyle B$与$\displaystyle C$，这样也导致丢分．
1. 【2019北京8】曲线$\displaystyle C:x^2+y^2=1+\left | x \right |y$的形状如图所示，给出以下三个结论：
（1）曲线$\displaystyle C$恰好经过6个整点（横、纵坐标均为整数的点）；

（2）曲线$\displaystyle C$上任意一点到原点的距离都不超过$\displaystyle \sqrt{2}$；

（3）曲线$\displaystyle C$所围成的"心形"区域的面积小于3.

其中正确的是$\displaystyle (\triangle)$ 10. 【旧教材必修二例题】已知$\displaystyle \Delta ABC$的面积为$\displaystyle S$，外接圆半径为$\displaystyle R$，$\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C$的对边分别为$\displaystyle a,b,c$，用解析几何的方法证明：$\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$。

B 组习题

B组

【2025广州一模11】如图，半径为1的动圆$\displaystyle C$沿着圆$\displaystyle O:x^2+y^2=1$外侧无滑动地滚动一圈，圆$\displaystyle C$上的点$\displaystyle P\left(a,b\right)$形成的外旋轮线$\displaystyle \Gamma$，因其形状像心形又称心脏线，已知运动开始时点$\displaystyle P$与点$\displaystyle A\left(1,0\right)$重合，以下说法正确的有
- 曲线$\displaystyle \Gamma$上存在到原点的距离超过$\displaystyle 2\sqrt{3}$的点
- 点$\displaystyle \left(1,2\right)$在曲线$\displaystyle \Gamma$上
- 曲线$\displaystyle \Gamma$和直线$\displaystyle x+y-2\sqrt{2}=0$有两个交点
- $\displaystyle |b|\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
2. 已知曲线 $\displaystyle C: \left(x^2 + y^2 - 1\right)^3 - 7\sin^2 x + 7\cos^2 y = 6$，下列说法正确的是
- 曲线 $\displaystyle C$ 过原点 $\displaystyle O$
- 曲线 $\displaystyle C$ 关于 $\displaystyle y = x$ 对称
- 曲线 $\displaystyle C$ 上存在一点 $\displaystyle P$，使得 $\displaystyle |OP| = 1$
- 若 $\displaystyle P\left(x,y\right)$ 为曲线 $\displaystyle C$ 上一点，则 $\displaystyle |x| + |y| < 3$
3. 【2021雅礼中学届高三月考（八）12】（多选）

已知集合$\displaystyle P=\left \{ \left(x,y\right)|\left(x-\cos\theta \right)^2+\left(y-\sin\theta \right)^2=4,0\leqslant \theta \leqslant\pi \right \}$，由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如"水滴"，下列命题正确的是
- "水滴"与$\displaystyle y$轴相交，最高点记为$\displaystyle A$，则点$\displaystyle A$的坐标为$\displaystyle \left(0,1\right)$
- 若$\displaystyle M\in P$，则$\displaystyle |OM|\leqslant 3$
- 阴影部分与$\displaystyle y$轴相交，最高点和最低点分别记为，则$\displaystyle |CD|=3+\sqrt{3}$
- 白色"水滴"图形的面积是$\displaystyle \frac{11}{6}\pi-\sqrt{3}$

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