3.2基本初等函数

本页由讲义拆分版 TeX 初步转换生成；答案默认收起。

讲义正文

基本初等函数

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

A组

    1. **【2017浙江5】**若函数$\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$在区间$\displaystyle [0,1]$上的最大值是$\displaystyle M$,最小值是$\displaystyle m$,则$\displaystyle M-m$的值

<div class="choices choices--4" markdown>

- 与$\displaystyle a$有关，与$\displaystyle b$有关
- 与$\displaystyle a$有关，与$\displaystyle b$无关
- 与$\displaystyle a$无关，与$\displaystyle b$有关
- 与$\displaystyle a$无关，与$\displaystyle b$无关

</div>
??? answer "答案"

    B.


        \par
         新答案（来源：1.4 二次函数与二次不等式.md）：
    B

    【解题思路】思路1：函数概念是高中数学的基础，最大（小）值的概念是函数性质中的重点，此题的核心就是要理解最大（小）值的本质，$\displaystyle M$究竟是什么？其实它是一个特殊的函数值$\displaystyle f\left(x_1\right)$，它满足：对任意的$\displaystyle x\in\left[0,1\right]$都有$\displaystyle f\left(x\right)\leqslant f\left(x_1\right)=M\left(x_1=\left[0,1\right]\right)$．同理$\displaystyle m=f\left(x_2\right)$，那么$\displaystyle M-m=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2+ax_1-x_2^2-ax_2$，明显能给出正确结论$\displaystyle B$．

    思路2：从函数的图形特征中我们也可以分析思考，函数$\displaystyle f\left(x\right)=x^2+ax+b$中，$\displaystyle b$的变化是函数$\displaystyle y=x^2$图形上下平移，同时影响函数值的变化，而$\displaystyle M-m$是两个函数值的差，所以与$\displaystyle b$无关．$\displaystyle a$的变化是函数$\displaystyle y=x^2$图形左右平移，分别影响了最大值和最小值，所以与$\displaystyle a$有关．正确答案是$\displaystyle B$．

1. 【2016浙江文6】已知函数 \(\displaystyle f(x) =x^2+bx\) ,则“\(\displaystyle b<0\)”是“\(\displaystyle f(f(x))\) 的最小值与 \(\displaystyle f(x)\) 的最小值相等”的

   • 充分不必要条件
   • 必要不充分条件
   • 充要条件
   • 既不充分也不必要条件
   答案

   A.

   充分性满足：函数\(\displaystyle f(x)=x^2+bx\)的顶点横坐标为\(\displaystyle x_0=-\frac b2\)，最小值为\(\displaystyle f(x_0)=-\frac{b^2}{4}\)，值域为\(\displaystyle \left[-\frac{b^2}{4},+\infty\right)\)。当\(\displaystyle b<0\)时，\(\displaystyle x_0>0\)，并且\(\displaystyle x_0\geqslant-\frac{b^2}{4}\)，于是存在\(\displaystyle x_1\)使\(\displaystyle f(x_1)=x_0\)，从而 \(\displaystyle f(f(x_1))=f(x_0)=-\frac{b^2}{4}\)，这就是\(\displaystyle f(f(x))\)的最小值，所以\(\displaystyle f(f(x))\)的最小值与\(\displaystyle f(x)\)的最小值相等，因此\(\displaystyle b<0\)是充分条件。

   必要性不满足。取\(\displaystyle b=0\)，则\(\displaystyle f(x)=x^2\)，\(\displaystyle f(f(x))=x^4\)，二者的最小值均为\(\displaystyle 0\)，而\(\displaystyle b<0\)不成立。因此选A。

   1. 已知函数\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} ax^2+bx, x<0 \\ bx^2-ax, x \geqslant 0 \end{cases}\),则“\(\displaystyle ab<0\)”是“\(\displaystyle f(x)\)在\(\displaystyle \mathbb{R}\)上为单调函数”的
   • 充分不必要条件
   • 必要不充分条件
   • 充要条件
   • 既不充分也不必要条件
   答案

   A.

   充分性满足，假设$\displaystyle ab<0$，可知$\displaystyle g_1(x)=ax^2+bx$的对称轴为$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$，$\displaystyle g_2(x)=bx^2-ax$的对称轴为$\displaystyle x=\frac{a}{2b}$。若$\displaystyle ab<0$，则$\displaystyle \frac{a}{2b}<0<-\frac{b}{2a}$，当$\displaystyle a>0$时，$\displaystyle g_1(x),g_2(x)$分别在$\displaystyle (-\infty,0),(0,+\infty)$上单调递减；当$\displaystyle a<0$时，$\displaystyle g_1(x),g_2(x)$分别在$\displaystyle (-\infty,0),(0,+\infty)$上单调递增，而$\displaystyle g_1(x)=g_2(x)=0$,所以$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle \mathbb{R}$上单调。
   
   必要性不满足，假设$\displaystyle a=0,b=1$，于是$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x, x<0 \\ x^2, x \geqslant 0 \end{cases}$，$\displaystyle f(x)$显然在$\displaystyle \mathbb{R}$上单调递增，而$\displaystyle ab=0$，所以$\displaystyle ab<0$不成立。因此选A。
   

   1. 【2009福建10】已知函数\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\),对任意非零实数\(\displaystyle a,b,c,m,n,p\),关于\(\displaystyle x\)的方程\(\displaystyle m[f(x)]^2+nf(x)+p=0\)的解集都不可能是
   • \(\displaystyle \left \{ 1,2\right \}\)
   • \(\displaystyle \left \{ 1,4\right \}\)
   • \(\displaystyle \left \{ 1,2,3,4 \right \}\)
   • \(\displaystyle \left \{ 1,4,16,64 \right \}\)
   答案

   D.

   令$\displaystyle u=f(x)$，则原方程等价于$\displaystyle mu^2+nu+p=0$。由于$\displaystyle m\ne0$，关于$\displaystyle u$的方程至多有两个实根，记为$\displaystyle u_1,u_2$。于是原方程的解由方程$\displaystyle f(x)=u_1$与$\displaystyle f(x)=u_2$得到，每个方程至多有两个实根，所以原方程至多有四个不同实根。<u>通过图象可知，如果原方程有四个不同实根，那么这四个解关于$\displaystyle f(x)$的对称轴对称</u>，故选项D是不可能的。
   

   1. 【2015陕西理12】对二次函数 \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\) (\(\displaystyle a\) 为非零整数), 四位同学分别给出下列结论, 其中有且只有一个结论是错误的, 则错误的结论是
   • \(\displaystyle 3\) 是 \(\displaystyle f(x)\) 的极值
   • \(\displaystyle 1\) 是 \(\displaystyle f(x)\) 的极值点
   • \(\displaystyle -1\) 是 \(\displaystyle f(x)\) 的零点
   • 点 \(\displaystyle (2,8)\) 在曲线 \(\displaystyle y=f(x)\) 上
   答案

   C.

   假设A选项结论错误，其余选项结论正确，由BC结论正确可设\(\displaystyle f(x)=a(x-1)^2-4a\)，代入D选项结论，得到\(\displaystyle a=-\frac{8}{3}\)，与题设中\(\displaystyle a\)是非零整数矛盾，故A选项错误。

   假设B选项结论错误，其余选项结论正确，由A结论正确可设\(\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+3\)，代入CD选项结论得到\(\displaystyle \begin{cases} a(h+1)^2+3=0& (1)\\a(h-2)^2+3=8 & (2) \end{cases}\)，\(\displaystyle (1)\times \frac{5}{3}+(2)\)得\(\displaystyle \frac{a}{3}(8h^2-2h+17)=0\)，由于\(\displaystyle a\)是非零整数，因此\(\displaystyle 8h^2-2h+17=0\)，显然无解，矛盾。于是B选项错误。

   假设C选项结论错误，其余选项结论正确，由AB结论正确可设\(\displaystyle f(x)=a(x-1)^2+3\)，代入D选项结论解得\(\displaystyle a=5\)。再验证C选项结论是错误的，于是C选项正确。

   假设D选项结论错误，其余选项结论正确，由AB结论正确可设\(\displaystyle f(x)=a(x-1)^2+3\)，代入C选项结论解得\(\displaystyle a=-\frac{3}{4}\)，与题设中\(\displaystyle a\)是非零整数矛盾，故D选项错误。

   \par
    新答案（来源：1.6 零点与图象.md）：
   

   A

   【解题思路】因为\(\displaystyle f\left(x\right)\)是二次函数，且\(\displaystyle f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\)，\(\displaystyle f\left(b\right)=\left(b-c\right)\left(b-a\right)<0\)，\(\displaystyle f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)>0\)，所以\(\displaystyle f\left(x\right)\)有两个零点，且零点分别在区间\(\displaystyle \left(a,b\right)\)和\(\displaystyle \left(b,c\right)\)内．

   1. 【2013重庆理6】若\(\displaystyle a<b<c\),则函数\(\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\)的两个零点分别位于区间

   2. \(\displaystyle (a,b)\)和\(\displaystyle (b,c)\)内

   3. \(\displaystyle (-\infty,a)\)和\(\displaystyle (a,b)\)内
   4. \(\displaystyle (b,c)\)和\(\displaystyle (c,+\infty)\)内
   5. \(\displaystyle (-\infty,a)\)和\(\displaystyle (c,+\infty)\)内