10.1随机事件和概率

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讲义正文

自然和社会中普遍存在着两类现象：确定性现象和随机现象

随机事件和概率

随机事件及其运算

随机现象可以通过随机试验来研究,所谓随机试验指的是对随机现象的一次观测,例如将一枚硬币抛掷若干次,观察正面和反面出现的情况；在一批灯管中任意抽取一只,测量它的寿命……随机试验具有以下特点：

(1) 试验可以在相同条件下重复进行；

(2) 每次试验具有多种结果,在试验之前可明确试验的所有可能结果；

(3) 每次试验都恰好出现这些可能结果中的一个,但试验前不能确定究竟会出现哪一个结果.

定义 1.1.1

随机试验\(\displaystyle E\)的每个可能结果称为样本点,记为\(\displaystyle \omega\).全体样本点构成的集合称为试验\(\displaystyle E\)的样本空间,记为\(\displaystyle \Omega\).

定义 1.1.2

样本空间\(\displaystyle \Omega\)的子集\(\displaystyle E\)称为随机事件,简称事件,只包含一个样本点的事件被称为基本事件.

事件\(\displaystyle A\)在一次试验中发生当且仅当\(\displaystyle A\)中的某个样本点发生.\(\displaystyle \Omega\) 作为自身的子集包含了所有样本点,所以它总会发生,故称\(\displaystyle \Omega\) 为必然事件；空集 \(\displaystyle \varnothing\) 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,故称 \(\displaystyle \varnothing\) 为不可能事件.

定义 1.1.3

对于事件\(\displaystyle A\)、\(\displaystyle B\).把“\(\displaystyle A\) 与 \(\displaystyle B\) 至少有一个发生”所对应的事件称为 \(\displaystyle A\) 与 \(\displaystyle B\) 的并事件或和事件,记作 \(\displaystyle A\cup B\)或\(\displaystyle A+B\)；把“\(\displaystyle A\) 与 \(\displaystyle B\) 同时发生”所对应的事件称为 \(\displaystyle A\) 与 \(\displaystyle B\) 的交事件或积事件,记作 \(\displaystyle A\cap B\)或\(\displaystyle AB\).

定义 1.1.4

若事件\(\displaystyle A,B\)在一次试验中不能同时发生,则称事件\(\displaystyle A,B\)互不相容或互斥,若事件\(\displaystyle A,B\)在一次试验中总是恰好有一个发生,则称事件 \(\displaystyle A,B\)相互对立,记事件\(\displaystyle A\)的对立事件为\(\displaystyle \overline{A}\).

概率的定义与性质

研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.概率可以被认为是一个事件发生,一种情况出现的可能性大小的数量指标,它介于0到1之间.

定义 1.1.5

设 \(\displaystyle E\) 是随机试验,\(\displaystyle \Omega\) 为其样本空间,\(\displaystyle \mathcal{F}\) 为 \(\displaystyle \Omega\) 的一个事件域\footnote{事件域指的是,在一次随机试验中,允许我们讨论并赋予概率的那些事件所组成的集合.在有限样本空间中,通常所有子集都可以作为事件,此时\(\displaystyle \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)\).}.对于每个事件 \(\displaystyle A\in\mathcal{F}\),若对应一个实数 \(\displaystyle P(A)\in[0,1]\),并且满足：

（1）非负性：\(\displaystyle P(A)\geqslant 0\)；

（2）规范性：\(\displaystyle P(\Omega)=1\)；

（3）可列可加性：若 \(\displaystyle A_1,A_2,\cdots\) 两两互不相容,则 $\(\displaystyle P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)$

则称 \(\displaystyle P\) 为 \(\displaystyle \mathcal{F}\) 上的概率,称 \(\displaystyle P(A)\) 为事件 \(\displaystyle A\) 的概率.

问题

概率\(\displaystyle P\)是一个数吗？为什么？

从样本点的角度出发,则每个样本点也有自己的概率（有限样本空间）

\[\displaystyle P(\omega_i)\geqslant 0,\sum_{i=1}^n P(\omega_i)=1.\]

事件 \(\displaystyle A\) 的概率等于它包含的所有样本点的概率和

\[\displaystyle P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\omega).\]

古典概型

有一类随机试验具有如下特点：样本空间只含有有限个样本点,且样本空间中每个样本点发生的可能性相同.把这类随机试验称为等可能概型,由于它是概率论发展初期的主要研究对象,又称为古典概型.

设随机试验\(\displaystyle E\)为等可能概型,若其样本空间\(\displaystyle \Omega\)含有\(\displaystyle n\)个样本点,而事件\(\displaystyle A\)含有\(\displaystyle m\)个样本点,则事件\(\displaystyle A\)的概率为

\[\displaystyle P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A\text{包含的样本点数}}{\text{样本点总数}}\]

条件概率与独立性

定义 1.1.6

对于事件\(\displaystyle A,B\),称

\(\displaystyle P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)

为在事件\(\displaystyle B\)发生的条件下,事件\(\displaystyle A\)发生的概率.

通俗地讲,\(\displaystyle P(B\mid A)\neq P(B)\)意味着“事件\(\displaystyle A\)是否发生”这一信息会改变我们对事件\(\displaystyle B\)发生概率的判断.当\(\displaystyle P(B\mid A)=P(B)\)时则不会,这时就说事件\(\displaystyle A\)与事件\(\displaystyle B\)相互独立.

定义 1.1.7

若事件\(\displaystyle A,B\)满足

\(\displaystyle P(A)P(B)=P(AB)\)

那么称事件\(\displaystyle A,B\)相互独立.

\(\displaystyle P(A)P(B)=P(AB)\)同时蕴含了\(\displaystyle P(A\mid B)=P(A),P(B\mid A)=P(B)\),是更为合理的定义.

定义 1.1.8

若事件\(\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n\)满足

\[\displaystyle \forall 1\leqslant i<j\leqslant n,P(A_i)P(A_j)=P(A_iA_j)\]

那么称这些事件两两独立.

若从这些事件中任取\(\displaystyle k\)个：\(\displaystyle A_{i_1},A_{i_2},\cdots,A_{i_k}\),满足

\[\displaystyle P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})=P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})\]

那么称这些事件相互独立.

定义 1.1.9

若事件\(\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n\)为样本空间\(\displaystyle S\)的一个划分,则对事件\(\displaystyle B\)有

\[\displaystyle P(B)=\sum_{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)\]

\paragraph{公式（贝叶斯公式）}

若事件\(\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n\)为样本空间\(\displaystyle S\)的一个划分,则对事件\(\displaystyle B\)有

\[\displaystyle P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)}(i=1,2,\cdots,n)\]

问题

试推导全概率公式与贝叶斯公式.

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

A组

1. 【2022全国乙卷理10】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 \(\displaystyle p_1, p_2, p_3\),且 \(\displaystyle p_3 > p_2 > p_1 > 0\).记该棋手连胜两盘的概率为 \(\displaystyle p\),则

   • \(\displaystyle p\) 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
   • 该棋手在第二盘与甲比赛, \(\displaystyle p\) 最大
   • 该棋手在第二盘与乙比赛, \(\displaystyle p\) 最大
   • 该棋手在第二盘与丙比赛, \(\displaystyle p\) 最大
   答案

   该棋手与甲、乙、丙三位棋手的比赛顺序共有\(\displaystyle 6\)种可能：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，该棋手连胜两盘．可以是第一、第二盘连胜（此时第\(\displaystyle 3\)盘胜负均可），或第一盘输但第二第三盘连胜．

   思路1：直接计算．该棋手在第二盘与甲比赛时，考虑"乙甲丙"与考虑"丙甲乙"是等价的．此时， $\(\displaystyle p=p_2p_1+\left(1-p_2\right)p_1p_3=p_1\left(p_2+p_3\right)-p_1p_2p_3,\)$ 同理，该棋手在第二盘与乙比赛时， $\(\displaystyle p=p_2\left(p_1+p_3\right)-p_1p_2p_3.\)$ 该棋手在第二盘与丙比赛时， $\(\displaystyle p=p_3\left(p_1+p_2\right)-p_1p_2p_3.\)$ 显然，由\(\displaystyle p_3>p_2>p_1>0\)可知， $\(\displaystyle p_1\left(p_2+p_3\right)<p_2\left(p_1+p_3\right)<p_3\left(p_1+p_2\right).\)$ 从而该棋手在第二盘与丙比赛时，\(\displaystyle p\)最大，故正确选项为\(\displaystyle D\)．

   思路2：特殊值法．为计算方便，可以把\(\displaystyle p_1\)，\(\displaystyle p_2\)，\(\displaystyle p_3\)设成具体的数值．

   设\(\displaystyle p_1=0.3\)，\(\displaystyle p_2=0.4\)，\(\displaystyle p_3=0.5\)，则该棋手在第二盘分别与甲、乙、丙比赛时，\(\displaystyle p\)的值分别为\(\displaystyle 0.42\)，\(\displaystyle 0.52\)，\(\displaystyle 0.58\)，可直接排除选项\(\displaystyle B\)和\(\displaystyle C\)，且\(\displaystyle p\)的值与该棋手甲、乙、丙的比赛次序有关，进而排除选项\(\displaystyle A\)，从而正确选项为\(\displaystyle D\)．

   【实测数据】阅卷数据如下．

   \[\displaystyle \begin{array}{c|cccccccc} \text{地区} & \text{平均分} & \text{标准差} & \text{难度} & \text{区分度} & \text{选A(\%)} & \text{选B(\%)} & \text{选C(\%)} & \text{选D(\%)}\\ \hline \text{河南理} & 2.86 & 2.47 & 0.57 & 0.27 & 11.12 & 17.79 & 13.88 & 57.16\\ \text{陕西理} & 2.79 & 2.48 & 0.56 & - & 11.0 & 18.1 & 14.9 & 55.9 \end{array}\]
   1. 【2010 江西11】 一位国王的铸币大臣在每箱\(\displaystyle 100\)枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在\(\displaystyle 10\)箱中各任意抽查一枚；方法二：在\(\displaystyle 5\)箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为\(\displaystyle p_1\)和\(\displaystyle p_2\)，则
   • \(\displaystyle p_1=p_2\)
   • \(\displaystyle p_1<p_2\)
   • \(\displaystyle p_1>p_2\)
   • 以上三种情况都有可能
   答案

   B. 在每箱中抽查一枚，找到劣币的概率是\(\displaystyle p=0.01\)．而在每箱中抽查两枚，找到劣币的概率是\(\displaystyle \frac{\mathrm{C}_{99}^1}{\mathrm{C}_{100}^2}=0.02=2p\)．

   所以，方法一能找到至少一枚劣币的概率是\(\displaystyle p_1=1-\left(1-p\right)^{10}\)．方法二能找到至少一枚劣币的概率是\(\displaystyle p_2=1-\left(1-2p\right)^5\)．因为 $\(\displaystyle p_1=1-\left(1-p\right)^{10}=1-\left(1-2p+p^2\right)^5<1-\left(1-2p\right)^5=p_2,\)$ 所以\(\displaystyle p_1<p_2\)．

   1. 【2024上海春考15】现有四个礼品盒,前三个礼品盒中分别装了一个中国结、一本书以及一个笔袋,第四个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼品盒,设事件\(\displaystyle A\)为抽中的盒子中有中国结,事件\(\displaystyle B\)为抽中的盒子中有书,事件\(\displaystyle C\)为抽中的盒子中有笔袋,则下列命题中成立的为
   • \(\displaystyle A\)与\(\displaystyle B\)互斥
   • \(\displaystyle A\)与\(\displaystyle B\)相互独立
   • \(\displaystyle A\)与\(\displaystyle B\cup C\)互斥
   • \(\displaystyle A\)与\(\displaystyle B\cap C\)相互独立
   答案

   B.

   记四个礼品盒分别为$\displaystyle 1,2,3,4$，则$\displaystyle A=\{1,4\},B=\{2,4\},C=\{3,4\}.$于是$\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2},\quad P(AB)=P(\{4\})=\frac{1}{4}.$
   
   因为
   $\displaystyle P(A)P(B)=\frac{1}{4}=P(AB),$所以$\displaystyle A$与$\displaystyle B$相互独立。看其余选项：因为$\displaystyle AB=\{4\}\neq \varnothing,$所以$\displaystyle A$与$\displaystyle B$不互斥，A错误。因为$\displaystyle A\cap(B\cup C)=\{4\}\neq \varnothing,$
   所以$\displaystyle A$与$\displaystyle B\cup C$不互斥，C错误。对于D，可知$\displaystyle B\cap C=\{4\}$,$\displaystyle P\bigl(A(B\cap C)\bigr)=\frac{1}{4}$,而$\displaystyle P(A)P(B\cap C)=\frac{1}{8}$,二者不相等，
   所以$\displaystyle A$与$\displaystyle B\cap C$不相互独立，D错误。
   

   1. 【2021新高考I卷8】有 \(\displaystyle 6\) 个相同的球,分别标有数字 \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6\),从中放回地随机抽取两次,每次取 \(\displaystyle 1\) 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 \(\displaystyle 1\)”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是 \(\displaystyle 2\)”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 \(\displaystyle 8\)”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 \(\displaystyle 7\)”,则

   2. 甲与丙相互独立

   3. 甲与丁相互独立
   4. 乙与丙相互独立
   5. 丙与丁相互独立