2.1代数运算习题
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讲义正文
代数运算习题
A 组习题
-
2019全国II卷理4已知\(\displaystyle M_1,M_2,R,r\)满足 \(\displaystyle \frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=(R+r)\frac{M_1}{R^3}\),设\(\displaystyle \alpha =\frac{r}{R}\),由于\(\displaystyle \alpha\)的值很小,在近似计算中有\(\displaystyle \frac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\),则\(\displaystyle r\)的近似值为
??? answer "答案"- \(\displaystyle \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}R\)
- \(\displaystyle \sqrt{\frac{M_2}{2M_1}}R\)
- \(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{3M_2}{M_1}}R\)
- \(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}R\)
D.- 推导下述对数运算公式,其中所有对数的底数\(\displaystyle a\)均满足\(\displaystyle a>0,a\neq 1\),所有真数\(\displaystyle x\)均满足\(\displaystyle x>0\)：
- \(\displaystyle a^{\log_a N} = N\)
- \(\displaystyle \log_a(xy) = \log_ax + \log_ay,\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_ax - \log_a y\)；
- \(\displaystyle \log_{a^p}(b^q) = \frac{q}{p} \cdot \log_a b \quad (p,q \in \mathbb{R},p\neq 0)\)；
-
\(\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) （\(\displaystyle c\) 为任意符合条件的底数）；\(\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a},\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)；
答案
（1）设 \(\displaystyle y=\log_aN\)，据对数的定义有 \(\displaystyle a^y=N\)，故 \(\displaystyle a^{\log_aN}=a^y=N\)。
（2）设 $\displaystyle u=\log_ax$，$\displaystyle v=\log_ay$，则 $\displaystyle x=a^u$，$\displaystyle y=a^v$。于是 $$\displaystyle \log_a(xy)=\log_a(a^{u+v})=u+v=\log_ax+\log_ay,$$ 同理可以证明同底对数除法公式。 （3）设$\displaystyle \log_ab=k$，于是$\displaystyle a^k=b$，由$\displaystyle a^{pqk}=b^{pq}$可知$\displaystyle (a^p)^{\frac{qk}{p}}=b^q$，于是有$\displaystyle \log_{a^p}(b^q)=\frac{qk}{p}=\frac{q}{p}\log_ab$。 （4）设$\displaystyle \log_ca=p,\log_cb=q$，于是$\displaystyle c^p=a$，$\displaystyle c^q=b$，有$$\displaystyle \log_ab=\log_{c^p}c^q=\frac{q}{p}=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$ 由此证明了换底公式。令$\displaystyle c=a$，立即得到$\displaystyle \log_ba=\frac1{\log_ab}$， 并且$\displaystyle \log_ab\cdot\log_bc=\frac{\log_bc}{\log_ba}=\log_ac.$- 计算或化简：
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em, after-item-skip=1.5ex}
(2) \task $\displaystyle (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{(\sqrt{4ab^{-1}})^3}{(0.1)^{-2}(a^3b^4)^{\frac{1}{2}}}$ \task $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{a-1})^5}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}}+\sqrt[3]{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{a-1})^5}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}}$ \task $\displaystyle \frac{x-1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}+\frac{x+1}{x^{\frac{1}{3}}+1}-\frac{x-x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-1}$ ??? answer "答案" （1）$\displaystyle \frac{4}{25}b^{-\frac{7}{2}}$. （2）$\displaystyle 4a-2$.提示：令 $\displaystyle u=\sqrt a-\sqrt{a-1}$，$\displaystyle v=\sqrt a+\sqrt{a-1}$，可知 $\displaystyle uv=1$。 （3）$\displaystyle -x^{\frac{1}{3}}$.提示：令 $\displaystyle t=x^{1/3}$，用立方和与立方差公式。- 解答下述问题：
- 已知\(\displaystyle x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3\)，求\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}+2}{x^2+x^{-2}+3}\)的值；
-
已知\(\displaystyle a^{2x}=\sqrt{2}+1\)，求\(\displaystyle \frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}\)的值。
答案
（1）\(\displaystyle \frac{2}{5}\).（2）\(\displaystyle 2\sqrt{2}-1\).提示：均使用立方和公式。 5. 利用对数进行计算：
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em, after-item-skip=1.5ex}
(2) \task $\displaystyle -\log_3(\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}})$ \task $\displaystyle 20^{\ln{\ln24}}-(\ln24)^{\ln20}$ \task $\displaystyle \frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}$ \task $\displaystyle \frac{\lg 5\cdot\lg400+(\lg2^{\sqrt{2}})^2}{(\mathrm{e}-1)^0-(\frac{9}{4})^{-0.5}+(\frac{3}{2})^{-1}}$ \task $\displaystyle 5^{\lg 30}\times 3^{\lg 2}$ \task $\displaystyle \lg 25+\frac{2}{3}\lg 8+\lg 5\cdot\lg 20+(\lg2)^2$ \task $\displaystyle \frac{(1-\log_63)^2+\log_62\cdot\log_618}{\log_64}$ \setcounter{task}{7} (1) \task $\displaystyle 8^{0.25}\cdot \sqrt[4]{2}+(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{3})^6-\sqrt{(-\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}}\cdot [(\frac{4}{9})^{-\frac{1}{3}}]-1$ \task $\displaystyle 10(2+\sqrt{5})^{-1}-(\frac{1}{500})^{-\frac{1}{2}}+30(\frac{125}{9})^{\frac{1}{2}}(\frac{\sqrt{5}}{3})^{\frac{1}{2}}$ \task $\displaystyle \frac{\log_{5}\sqrt{2}\cdot \log_79}{\log_5\frac{1}{3}\cdot \log_7\sqrt[3]{4}}+\log_2(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})$ ??? answer "答案" (1)$\displaystyle 3$；(2)$\displaystyle 0$；(3)$\displaystyle 1/2$；(4)$\displaystyle 2$；(5)$\displaystyle 15$；(6)$\displaystyle 3$；(7)$\displaystyle 1$.-
计算或化简
答案
(1) \(\displaystyle 215/2\)；(2) \(\displaystyle -20+(50\cdot5^{3/4})/\sqrt3\)；(3) \(\displaystyle -1\)。 7. 解答下述问题： 1. 已知\(\displaystyle \log_{18}9=a,18^b=5\),用\(\displaystyle a,b\)表示\(\displaystyle \log_{36}45\); 2. 已知\(\displaystyle \lg 2=a\),用\(\displaystyle a\)表示\(\displaystyle \lg \frac{10^{\frac{1}{3}}\sqrt{250}}{2\sqrt[3]{5}}\).
答案
（1）\(\displaystyle \frac{a+b}{2-a}\).提示：将\(\displaystyle \log_{36}45\)变形为\(\displaystyle \frac{\log_{18}45}{\log_{18}36}\).
（2）$\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{5a}{3}$。- 解答下述问题
- 设\(\displaystyle a\log_34=2\)，求\(\displaystyle 4^{-a}\).
- 已知\(\displaystyle a>b>1\),若\(\displaystyle \log_ab+\log_ba=\frac{5}{2},a^b=b^a\),求\(\displaystyle a,b\).
- 若实数 \(\displaystyle m>1\) 满足 \(\displaystyle \log_{9}(\log_{4}m)=2024\),求 \(\displaystyle \log_{3}(\log_{2}m)\).
- 已知\(\displaystyle 0<a<1,a^{2\log_3a}=81\sqrt{3}\),求\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\log_9a\).
- 正数\(\displaystyle a,b\)满足\(\displaystyle 1+\log_2a=2+\log_3b=3+\log_6(a+b)\),求\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\).
- 已知\(\displaystyle xy\neq0,2^x=18^y=9^{xy}\),求\(\displaystyle x-y\).
- 已知正实数\(\displaystyle a,b,c\neq 1,ab\neq1\),且\(\displaystyle \log_{ab}c=\log_ac\cdot\log_bc\),求\(\displaystyle \log_ac+\log_bc\).
- 已知\(\displaystyle \log_3[\log_4(\log_5a)]=\log_4[\log_3(\log_6b)]=0\),求\(\displaystyle \frac{a}{b}\).
- 已知\(\displaystyle \log_ax=2,\log_bx=1,\log_cx=4\),求\(\displaystyle \log_{abc}x\).
- 已知\(\displaystyle 3^x=6^y=8^z\),求\(\displaystyle \log_3\frac{z(x-y)}{xy}\).
- 设 \(\displaystyle x > 0, x \neq \frac{1}{3}, x \neq \frac{1}{2}\).若 \(\displaystyle \log_{3x} 4 = \log_{2x} 16\),求 \(\displaystyle x\).
答案
（1）
（2）$\displaystyle (a,b)=(4,2)$。 （3）$\displaystyle 4048+\log_32$ （4）$\displaystyle 105/4$.提示：两边同时取以3为底的对数。 （5）$\displaystyle \frac{1}{12}$.提示：令上述相等的三式均为$\displaystyle k$，把$\displaystyle a,b$表成含$\displaystyle k$的式子。 （6）$\displaystyle 1$.提示：同（5）. （7）$\displaystyle 1$. （8）$\displaystyle \frac{625}{243}$. （9）$\displaystyle \frac{4}{7}$. （10）$\displaystyle -1$.提示：待求式的真数齐次，考虑利用换底公式表示其比值。 （11）$\displaystyle \frac{2}{9}$.- 因式分解\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em,
after-item-skip=1.5ex } (2) \task \(\displaystyle x^4-2x^2y-3y^2+8y-4\)
答案
（1）\(\displaystyle (x^2+y-2)(x^2-3y+2)\) 10. 比较\(\displaystyle \log_{2}3\),\(\displaystyle \log_{3}4\),\(\displaystyle \log_{4}5\)的大小.
答案
\(\displaystyle \log_23>\log_34>\log_45\) 构造函数\(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln x}\),求导得到\(\displaystyle f'\left(x\right)= =\frac{x\ln x-\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)\left(\ln x\right)^{2}}.\)
因 \(\displaystyle g\left(x\right)=x\ln x\) 在 \(\displaystyle x>1\) 上严格递增，故 \(\displaystyle x\ln x<\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)\)，即 \(\displaystyle f'\left(x\right)<0\)，\(\displaystyle f\left(x\right)\) 在\(\displaystyle (1,+\infty)\)上单调递减。于是 \(\displaystyle f\left(2\right)>f\left(3\right)>f\left(4\right)\)，从而\(\displaystyle \log_{2}3>\log_{3}4>\log_{4}5.\) 11. 【2020全国III卷12】已知\(\displaystyle 5^{5}<8^{4}\),\(\displaystyle 13^{4}<8^{5}\).设\(\displaystyle a=\log_{5}3\),\(\displaystyle b=\log_{8}5\),\(\displaystyle c=\log_{13}8\),比较\(\displaystyle a,b,c\)的大小.
答案
\(\displaystyle a<b<c\)。 12. 【2003上海理15】 \(\displaystyle a_1\)、\(\displaystyle b_1\)、\(\displaystyle c_1\)、\(\displaystyle a_2\)、\(\displaystyle b_2\)、\(\displaystyle c_2\) 均为非零实数, 不等式 \(\displaystyle a_1x^2 + b_1x + c_1 > 0\) 和 \(\displaystyle a_2x^2 + b_2x + c_2 > 0\) 的解集分别为集合 \(\displaystyle M\) 和 \(\displaystyle N\), 那么“\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)”是“\(\displaystyle M = N\)”的
??? answer "答案"充分不必要条件
- 必要不充分条件
- 充要条件
- 既不充分也不必要条件
D.设$\displaystyle P_i(x)=a_ix^2+b_ix+c_i(i=1,2).$ 若三个比值相等，记公共比值为 $\displaystyle \lambda$，则 $\displaystyle P_1(x)=\lambda P_2(x)$。当 $\displaystyle \lambda>0$ 时确有 $\displaystyle M=N$，若$\displaystyle \lambda<0$,取$\displaystyle P_1(x)=-(x^2+x+1),P_2(x)=x^2+x+1$，则三个比值均为 $\displaystyle -1$，但 $\displaystyle P_1(x)>0$ 的解集为空集，而 $\displaystyle P_2(x)>0$ 的解集为 $\displaystyle \mathbb R$，所以 $\displaystyle M\ne N$。因此该条件不是充分条件。 必要性不满足。当$\displaystyle P_1(x)$与$\displaystyle P_2(x)$有零点时是满足的，但若二者恒正时则不满足，例如取$\displaystyle P_1(x)=x^2+x+1,P_2(x)=2x^2+3x+4.$ 二者对任意实数均为正，故 $\displaystyle M=N=\mathbb R$，而$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac12, \frac{b_1}{b_2}=\frac13, \frac{c_1}{c_2}=\frac14.$ 并不相等。因此该条件是充分不必要条件。 \par 新答案（来源：1.4 二次函数与二次不等式.md）： D 【解题思路】若$\displaystyle a_i>0\left(i=1,2\right)$，且二次不等式的判别式$\displaystyle \Delta<0$，则二次不等式的解集为$\displaystyle \mathbb{R}$，因此$\displaystyle b_1^2>4a_1c_1$且$\displaystyle b_2^2>4a_2c_2$，但此时不一定有$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$． 反之，若$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=-1$，例如考虑不等式$\displaystyle x^2-2x+2>0$与$\displaystyle -x^2+2x-2>0$，则此时$\displaystyle M=\mathbb{R}$，$\displaystyle N=\varnothing$． 综上，$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$是$\displaystyle M=N$的既不充分也不必要条件．-
解关于\(\displaystyle x\)的方程
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em, item-indent=2em, column-sep=2em, after-item-skip=1.5ex }
(2)
\task \(\displaystyle (x^2-1)^2-1=x\)
\task \(\displaystyle 9\lg x-x+1>0\)
\task \(\displaystyle (\log_3 x)^2+\log_9(3x)=2\)
\task \(\displaystyle 4^x-2\cdot 6^x-3^{2x+1}=0\)
\task \(\displaystyle \lg x+2\log_{10x}x=2\)
\task \(\displaystyle x^{\lg x+2}=1000\)
\task \(\displaystyle x^{\ln 3}+x^{\ln 4}=x^{\ln 5}\)
\task \(\displaystyle \sqrt{25^{x^2+x-\frac12}}=\sqrt[4]{5}\) \task \(\displaystyle \sin 4x+\sin x=0\) \task \(\displaystyle \tan x+\tan 2x =\tan 3x\) \task \(\displaystyle \sin 4x-2\sin x\cos 2x=0\)
??? answer "答案" （1）$\displaystyle x=0$或$\displaystyle -1$或$\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。 （2）$\displaystyle 1<x<10$. （3）$\displaystyle x=3$ 或 $\displaystyle x=3^{-3/2}$。提示：换元$\displaystyle t=\log_3x$。 （4）$\displaystyle x=\log_{\frac{2}{3}}3$.提示：令 $\displaystyle u=(\frac{2}{3})^x,u>0$。 （5）$\displaystyle x=10$或$\displaystyle 10^{-2}$.提示：令 $\displaystyle t=\lg x$，$\displaystyle \log_{10x}x=\frac{\lg x}{\lg 10x}=\frac{t}{1+t}$. （6）$\displaystyle x=10$或$\displaystyle 10^{-3}$。提示：令 $\displaystyle t=\lg x$. （7）$\displaystyle x=\mathrm \mathrm{e}^2$。提示：令 $\displaystyle t=\ln x$，并借助$\displaystyle a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$将原方程化为 $\displaystyle 3^t+4^t=5^t$。 （8）$\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。 （9）$\displaystyle x=\frac{2k\pi}{5}$或$\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{3}$，$\displaystyle k\in\mathbb{Z}$. 提示：分类讨论，或借助和差化积公式，$\displaystyle \sin4x+\sin x=2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}=0.$ （10）$\displaystyle x=\frac{k\pi}{3}$，$\displaystyle k\in\mathbb{Z}$。提示：用正切和公式后分类讨论。 （11）$\displaystyle x=2k\pi$ 或 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ 或 $\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{3}$，其中 $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$。-
解关于\(\displaystyle x\)的方程
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em,
after-item-skip=1.5ex }
\task \(\displaystyle 3\log_x4+2\log_{4x}4+3\log_{16x}4=0\) \hfill
\task $\displaystyle \log_2(9^{x-1}-5)=\log_2(3^{x-1}-2)+2$ \hfill \task $\displaystyle (2x^3+3x)^2+16=(2x^2+2)^2+(2x^3+x)^2+(2x^2+1)^2$ \task $\displaystyle \frac{(3-x^2)^2}{[(x+2)^2+1][(x-2)^2+1]}=\frac{1}{17}$答案
（1）\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)或\(\displaystyle \frac{1}{8}\).提示：令 \(\displaystyle t=\log_2x\)。
（2）$\displaystyle x=2$.提示：令 $\displaystyle y=3^{x-1}$。 （3） $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{11}}{2}$。 （4）$\displaystyle x=\pm \sqrt{2}$或$\displaystyle \pm 2$. 提示：$\displaystyle [(x+2)^2+1][(x-2)^2+1]=(x^2+5+4x)(x^2+5-4x)=(x^2+5)^2-16x^2$.- 解方程组
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em,
after-item-skip=1.5ex }
(2)
\task $\displaystyle \begin{cases} x^2+16xy+3y^3=2\\4x^2+5xy+7y^2=6 \end{cases}$ \task $\displaystyle \begin{cases} (x+4)/3=(y+6)/4=(z+8)/5\\ x+y+z=102 \end{cases}$ \task $\displaystyle \begin{cases} \tan x+\tan y=1\\ \cos x\cos y=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$ \task $\displaystyle \begin{cases} (ay)^{\log x}=(\frac{b}{x})^{\log \frac{1}{y}}\\ (ax)^{\log a}=(by)^{\log b} \end{cases}$ \task $\displaystyle \begin{cases} d^2+\sin ^2(\omega x+wd)=1 \\ 4d^2+\sin ^2(\omega x+2\omega d)=4 \\d^2+\sin ^2(\omega x-\omega d)=1 \end{cases}$\task \(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2+(z-\sqrt{2})^2=R^2 \\ (x-\sqrt{2})^2+y^2+z^2=R^2 \\ (x-\sqrt{2})^2+(y-2)^2+z^2=R^2 \\ x^2+(y-\sqrt{3}-1)^2+z^2=R^2 \end{cases}\) 16. 解关于\(\displaystyle x\)的不等式
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
item-indent=2em, column-sep=2em,
after-item-skip=1.5ex }
(2) \task \(\displaystyle a^{x^4-2x^2}>(\frac{1}{a})^{a^2}(a>0,a\neq 1)\)
答案
（1）当 \(\displaystyle a>1\) 时，解集为 \(\displaystyle \mathbb R\)；当 \(\displaystyle 0<a<1\) 时，解集为 \(\displaystyle \left\{x:\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}}<|x|<\sqrt{1+\sqrt{1-a^2}}\right\}\)。 17. 解答下述问题： 1. 设\(\displaystyle a>1\),若有且仅有一个常数\(\displaystyle c\)使得对于任意的\(\displaystyle x\in[a,2a]\),都有\(\displaystyle y\in[a,a^2]\)满足方程\(\displaystyle \log_ax+\log_ay=c\),求\(\displaystyle a\)的取值的集合. 2. 【1984全国卷理15】设\(\displaystyle c,d,x\)为实数,\(\displaystyle x\)为未知数,讨论方程\(\displaystyle \log_{(cx+\frac{d}{x})}x=-1\)在什么情况下有解,有解时求出它的解. 3. 【1987全国卷理18】设对所有实数\(\displaystyle x\),不等式$\(\displaystyle x^2\log_a\frac{4(a+1)}{a}+2x\log_2\frac{2a}{a+1}+\log_2\frac{(a+1)^2}{4a^2}>0\)\(恒成立,求\)\displaystyle a\(的取值范围. 4. **【1989全国卷理22】**已知\)\displaystyle a>0,a\neq 1\(,试求使方程\)\displaystyle \log_a(x-ak)=\log_{a^2}(x^2-a^2)\(有解的\)\displaystyle k\(的取值范围. 5. **【1989全国卷文17】**已知\)\displaystyle 0<a<1,0<b<1,a^{\log_b(x-3)}<1\(,则\)\displaystyle x\(的取值范围是？ 6. **【1990全国卷文24】**已知\)\displaystyle a>0,a\neq 1\(,解不等式：\)\displaystyle \log_a(4+3x-x^2)-\log_a(2x-1)>\log_a2$ 7. 【1990上海25】关于实数\(\displaystyle x\)的不等式\(\displaystyle |x-\frac{(a+1)^2}{2}|\leqslant \frac{(a-1)^2}{2}\)与\(\displaystyle x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\leqslant 0\)（其中\(\displaystyle a\in\mathbb{R}\)）的解集依次记为\(\displaystyle A,B\),求使\(\displaystyle A\subseteq B\)的\(\displaystyle a\)的取值范围. 8. 【1991全国卷理25】已知\(\displaystyle n\in\mathbb{N^*}\),实数\(\displaystyle a>1\),解关于\(\displaystyle x\)的不等式：$\(\displaystyle \log_ax-4\log_{a^2}x+12\log_{a^3}x+\cdots+n(-2)^{n-1}\log_{a^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a(x^2-a)\)$ 9. 【2009天津理10】 \(\displaystyle 0 < b < 1+a\). 若关于 \(\displaystyle x\) 的不等式 \(\displaystyle (x-b)^2 > (ax)^2\) 的解集中的整数恰有 \(\displaystyle 3\) 个, 求\(\displaystyle a\)的取值范围. 10. 【2005 北京春文 8 理 8】 若不等式 \(\displaystyle (-1)^n a < 2 + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) 对于任意正整数 \(\displaystyle n\) 恒成立,求实数 \(\displaystyle a\) 的取值范围.
答案
（1）\(\displaystyle a=2\)。
（2）当$\displaystyle 0<\frac{1-d}{c}\neq 1$时，原方程有实数解$\displaystyle x=\sqrt{\frac{1-d}{c}}$. （3）$\displaystyle 0<a<1$.提示：令$\displaystyle t=\log_2\frac{a+1}{a}$. （4）$\displaystyle k\in (-\infty,-1)\cup (0,1)$ （5）$\displaystyle 3<x<4$。 （6）当 $\displaystyle a>1$ 时，解集为$\displaystyle \frac{1}{2}<x<2$，$\displaystyle 当0<a<1$ 时，解集为$\displaystyle 2<x<4$。 （7）$\displaystyle 1\leqslant a\leqslant3$或$\displaystyle a=-1$. （8）当$\displaystyle n$是奇数时，$\displaystyle \sqrt{a}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，当$\displaystyle n$是偶数时，$\displaystyle x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$. 提示：左端利用 $\displaystyle \log_{a^j}x=\frac1j\log_ax$ 化为$\displaystyle \frac{1-(-2)^n}{3}\log_ax.$对$\displaystyle n$分奇偶讨论。 （9）$\displaystyle a\in (1,3).$ （10） $\displaystyle -2\leqslant a<\frac{3}{2}$. \par 新答案（来源：1.2 不等式.md）：A
【解题思路】对正整数分奇数、偶数作分类讨论：
当\(\displaystyle n\)为正奇数\(\displaystyle 1,3,5,\cdots\)时，可得\(\displaystyle a>-2-\frac{1}{n}\)；
当\(\displaystyle n\)为正偶数\(\displaystyle 2,4,6,\cdots\)时，可得\(\displaystyle a<2-\frac{1}{n}\)．
由此可得\(\displaystyle -2\leqslant a<\frac{3}{2}\)． 18. 【2015湖北理10】设\(\displaystyle x\in\mathbb{R}\),若存在实数\(\displaystyle t\),使得\(\displaystyle [t]=1,[t^2]=2,\cdots,[t^n]=n\)同时成立,求正整数\(\displaystyle n\)的最大值.
答案
4. 由题意， $\(\displaystyle &1\leqslant t<2\Leftrightarrow t\in\left[1,2\right) &2\leqslant t^2<3\Leftrightarrow t\in\left[\sqrt2,\sqrt3\right) &3\leqslant t^3<4\Leftrightarrow t\in\left[\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{4}\right) \cdots\cdots &n\leqslant t^n<n+1\Leftrightarrow t\in\left[\sqrt[n]{n},\sqrt[n]{n+1}\right)\)$
要求使得上面 \(\displaystyle n\) 个不等式的交集是非空的最大的 \(\displaystyle n\) 值。可知 \(\displaystyle \sqrt[n]{n}=\mathrm{e}^{\frac1n\ln n}\)，\(\displaystyle \sqrt[n]{n+1}=\mathrm{e}^{\frac1n\ln\left(n+1\right)}\)。考虑\(\displaystyle f\,(x)=\frac{\ln x}{x}\)，\(\displaystyle f\,(x)\) 在 \(\displaystyle \left(0,\mathrm{e}\right)\) 单调递增，在 \(\displaystyle \left(\mathrm{e},+\infty\right)\) 单调递减。而 \(\displaystyle \left(\sqrt2\right)^6=8\)，\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{3}\right)^6=9\)，所以 \(\displaystyle \sqrt[n]{n}\) 的最大值在 \(\displaystyle n=3\) 取到。注意 \(\displaystyle \left(\sqrt3\right)^6=27\)，\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}\right)^6=16\)，因此前三个不等式的交集是 \(\displaystyle \left[\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{4}\right)\)。
考虑 \(\displaystyle g(x)=\frac{\ln\left(x+1\right)}{x}\)，可以证明 \(\displaystyle g(x)\) 在 \(\displaystyle \left(0,+\infty\right)\) 单调递减。因此当 \(\displaystyle n\geqslant3\) 时，前 \(\displaystyle n\) 个不等式的交集是 \(\displaystyle A_n=\left[\sqrt[3]{3},\sqrt[n]{n+1}\right)\)。下面来找使得 \(\displaystyle A_n\) 非空的 \(\displaystyle n\) 的最大值。
当 \(\displaystyle n=4\) 时，\(\displaystyle \left(\sqrt[4]{5}\right)^{12}=125\)，\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{3}\right)^{12}=81\)，所以 \(\displaystyle \sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{5}\)，于是 \(\displaystyle A_4\) 非空。
当 \(\displaystyle n=5\) 时，\(\displaystyle \left(\sqrt[5]{6}\right)^{15}=216\)，\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{3}\right)^{15}=243\)，所以 \(\displaystyle \sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{6}\)，所以 \(\displaystyle A_5\) 是空集。
综上，\(\displaystyle n\) 的最大值为 \(\displaystyle 4\)。
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