5.4复数

本页由讲义拆分版 TeX 初步转换生成；答案默认收起。

讲义正文

复数

基本概念

定义 1.4.1（复数）

形如 $\displaystyle a + b\text{i}$ 的数称为复数,其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$,$\displaystyle \text{i}$ 是虚数单位,满足$\displaystyle \text{i}^2 = -1$,一般用小写字母$\displaystyle z$表示.$\displaystyle a,b$分别称为$\displaystyle z$的实部（记作$\displaystyle R(z)$）与虚部（记作$\displaystyle I(z)$）.全体复数构成的集合称为复数集$\displaystyle \mathbb{C}$.

对于复数 $\displaystyle z = a + b\text{i}$,若 $\displaystyle b = 0$,称$\displaystyle z$ 为实数；若 $\displaystyle b \neq 0$,称$\displaystyle z$ 为虚数；特别地,若 $\displaystyle a = 0$ 且 $\displaystyle b \neq 0$,称$\displaystyle z$ 为纯虚数.复数集$\displaystyle \mathbb{C}$可以被划分为实数集$\displaystyle \mathbb{R}$与虚数集$\displaystyle \mathbb{I}$.

复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}(a,b\in\mathbb{R})$可以与有序实数对$\displaystyle (a,b)$建立对应关系,即有映射

$\displaystyle f:\mathbb{C}\to \mathbb{R}^2,\quad a+b\mathrm{i}\mapsto (a,b)$

可知$\displaystyle f$是双射,于是建立了从复数集到二维欧几里得平面$\displaystyle \mathbb{R}^2$的上述一一对应关系,这种用来表示复数的平面称为复平面,其中$\displaystyle x$轴称为实轴,$\displaystyle y$轴称为虚轴.复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}$对应复平面上的点$\displaystyle (a,b)$,反之亦然.

定义 1.4.2（共轭复数）

对于复数$\displaystyle z$,定义$\displaystyle z$共轭复数与$\displaystyle z$实部相同,虚部相反,记为 $\displaystyle \overline{z}$.

若复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}$，则其共轭复数为$\displaystyle \overline{z}=a-b\mathrm{i}$,两个互为共轭的复数在复平面上对应的点关于实轴对称.

复平面上的点$\displaystyle Z(a,b)$表示复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}$,向量$\displaystyle \vv{OZ}$亦由复数$\displaystyle z$唯一确定.

定义 1.4.3（复数的模）

对于复数$\displaystyle z$,定义$\displaystyle z$的模为其对应向量的模长,记为$\displaystyle |z|$.

命题

对任意复数$\displaystyle z$,记其共轭复数为$\displaystyle \overline{z}$,有$\displaystyle z \cdot \overline{z} = |z|^2$

若复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}$,则其模为$\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}$。

复数的运算

当我们引入虚数单位$\displaystyle \mathrm{i}$，将实数集扩展为复数集后，接踵而至的问题便是定义运算法则,并且这些运算法则必须与实数的运算法则相兼容.

定义 1.4.5（复数的运算）

设复数$\displaystyle z_1 = a + b\mathrm{i},z_2 = c + d\mathrm{i}$,其中$\displaystyle a,b,c,d \in \mathbb{R}$,定义复数$\displaystyle z_1,z_2$的运算如下：

加减法：实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. $$\displaystyle z_1 \pm z_2 = (a \pm c) + (b \pm d)\mathrm{i}$$

乘法：类似于多项式乘法,利用 $\displaystyle \mathrm{i}^2 = -1$ 简化.
$$\displaystyle z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)\mathrm{i}$$

除法：分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.
$$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)\mathrm{i}}{c^2 + d^2}$$

命题

对复数$\displaystyle z_1,z_2$及其对应的共轭复数$\displaystyle \overline{z_1},\overline{z_2}$,有 $$\displaystyle \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2},\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

命题

对于复数$\displaystyle z_1,z_2$,有 $$\displaystyle |z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$

复数的三角表示

复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁.

复数是否也可以像极坐标那样,用$\displaystyle r$和$\displaystyle \theta$来表示呢？对于复数$\displaystyle z$,根据前面的知识已经知道$\displaystyle r=|z|$,只需研究$\displaystyle \theta$.

定义 1.4.8（幅角）

设复数$\displaystyle z$对应复平面上的点 $\displaystyle P$,定义$\displaystyle z$的幅角为$\displaystyle \theta = \angle{POx}$,记为$\displaystyle \mathrm{Arg} z$.

可以看出,$\displaystyle \mathrm{Arg}z$是多值的,若$\displaystyle z$的一个幅角为$\displaystyle \theta$,则有$\displaystyle \mathrm{Arg}z=\theta + 2k\pi,k \in \mathbb{Z}$.为了方便,把属于$\displaystyle [0,2\pi)$的$\displaystyle z$的幅角称为$\displaystyle z$的幅角的主值,记作$\displaystyle \arg z$.

问题

已知复数$\displaystyle z$的模长为$\displaystyle r$,幅角为$\displaystyle \theta$,则$\displaystyle z$可表示成$$\displaystyle z = r(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$$

这称为复数的三角形式.

问题

已知复数$\displaystyle z_1=r_1(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha),z_2=r_2(\cos\beta+\mathrm{i}\sin\beta)$,证明： $$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2(\cos(\alpha+\beta)+\mathrm{i}\sin(\alpha+\beta)),\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\alpha-\beta)+\mathrm{i}\sin(\alpha-\beta))$$

这是三角形式下的复数乘法、除法公式,它的一种记忆方法是：“乘法模长相乘、幅角相加；除法模长相除、幅角相减.”

利用上述公式,可以证明棣莫弗定理.

定理：棣莫弗定理,De Moivre's Theorem

对任意实数 $\displaystyle \theta$ 和整数 $\displaystyle n$,有 $$\displaystyle (\cos \theta + \mathrm{\mathrm{i}} \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + \mathrm{\mathrm{i}} \sin(n\theta)$$

欧拉公式

定理：欧拉公式,Euler's Formula

\[\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\]

证明

对$\displaystyle \mathrm{e}^x,\sin x,\cos x$在$\displaystyle x=0$处的泰勒级数： $$\displaystyle \mathrm{e}^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} \dots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} \dots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

将 $\displaystyle x = \mathrm{i}\theta$ 代入 $\displaystyle \mathrm{e}^x$ 泰勒展开式：

\[\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = 1 + i\theta + \frac{(\mathrm{i}\theta)^2}{2!} + \frac{(\mathrm{i}\theta)^3}{3!} + \frac{(\mathrm{i}\theta)^4}{4!} + \frac{(\mathrm{i}\theta)^5}{5!} + \dots==\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathrm{i\theta})^k}{k!}\]

据$\displaystyle \mathrm{i}^2=-1, \mathrm{i}^3=-\mathrm{i}, \mathrm{i}^4=1, \mathrm{i}^5=\mathrm{i}$ 等性质,将其按实部虚部归类：

$$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} &= \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots \right) + \mathrm{i} \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \dots \right) &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+\mathrm{i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

代入 $\displaystyle \cos \theta$ 和 $\displaystyle \sin \theta$ 的泰勒级数,得 $$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta \quad$$

其中,令$\displaystyle \theta=\pi$,我们得到欧拉恒等式

\[\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0\]

根据欧拉公式,复数$\displaystyle z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$可表示为$\displaystyle z = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$,它的共轭复数是$\displaystyle \overline{z} = r \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$.

欧拉公式的简单应用

例 5.4.1

借助欧拉公式简化复数三角形式的乘法与除法公式推导.

解$\displaystyle \quad$设$\displaystyle z_1=r_1(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha),z_2=r_2(\cos\beta+\mathrm{i}\sin\beta)$,由欧拉公式 $$\displaystyle z_1z_2=r_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\cdot r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}=r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\beta)}=r_1r_2(\cos(\alpha+\beta)+\mathrm{i}\sin(\alpha+\beta))$$ $$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}}{ r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha-\beta)}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\alpha-\beta)+\mathrm{i}\sin(\alpha-\beta))$$

欧拉公式中同时出现了指数,三角函数与复数,它将这三种类型的数的运算法则联系起来.例如,$\displaystyle \cos\theta,\sin\theta$可表示为 $$\displaystyle \cos \theta = \frac{e^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2},\sin \theta = \frac{e^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$$ 这时的三角函数可适用指数运算的规则.

例 5.4.2

借助欧拉公式简化正余弦两角和公式的推导

解$\displaystyle \quad$由 $$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \beta)} = \cos(\alpha + \beta) + \mathrm{i} \sin(\alpha + \beta)$$

左式做变形： $$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \beta)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta} = (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)(\cos \beta + \mathrm{i} \sin \beta)$$

展开右式并整理： $$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\beta)}=(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \mathrm{i} (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)$$

对比$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\beta)}$两种表示方式的实部与虚部,得

$\displaystyle \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\displaystyle \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

由此证明了正余弦两角和公式.

为什么可以对$\displaystyle -1$开平方？

在除法中,1除以0被认为是无意义的,但我们却要给 $\displaystyle -1$ 的平方根一个假想的结果,并为此创造出一个崭新的数学体系,难道对$\displaystyle -1$ 开平方的“没有意义”,比1除以0 的“没有意义”更有意义一些吗？数学里的“意义”到底指的是什么？

以一个故事为例：一对朋友道别前约定：在两周后的同一天、同一时间再见.其中一个掏出记事本以便记下见面的日期,喃喃自语道：“今天是4月20号,14天之后是34号,那就是34减30——5月4号.”

我们在思考“14天后是几号”时通常会这样做：10天之后是4月30号,11天之后是5月1号,那么14天之后就是5月4号.从4月到5月的过渡使得数字的自然增长被打断了.而开头的相反,并未在这些太过实际的障碍上停滞不前.她发明了一个不存在的日期：4月34号,以便让自己的推导直达目标,而这丝毫没有妨碍她得到正确的结果！

同样地，利用卡尔达诺的三次方程求根公式求解方程 $\displaystyle x^3 = 15x + 4$，有 $$\displaystyle x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$$ 但是该方程有一个显而易见的实数根 $\displaystyle x=4$.

意大利数学家邦贝利（Rafael Bombelli）则发现：如果“捏着鼻子”暂时接受 $\displaystyle \sqrt{-1}$ 是真实存在的,继续向下化简,最终可以消去$\displaystyle \sqrt{-1}$,得到正确答案$\displaystyle x=4$.

问题

按上述思路化简$\displaystyle \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$.

这是数学颠覆我们三观的优点之一：有些时候，我们可以用不存在的东西去恰当地思考.虽然我们是从一个现实问题出发的，但我们可以创造一个数学世界,在这个世界中,我们的思维可以自由漫步,不必担心“现实意义”的妨碍.

引入不存在的虚数单位后，数学世界并未毁灭,它在接纳新事物后依然保持着和谐与统一。随着复数合理性的确立,人们发现了复数乘除法和向量旋转的关联、欧拉恒等式、代数基本定理等具有深远意义的结论,这些结论不仅在数学世界中是自洽的,并且在量子力学、交流电、信号处理等现实研究问题中也成为了极其强大的工具。

如果雨天想在不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方,我们可以按照下述步骤操作：

（1）撑开你的雨伞：创造一个数学世界,在其中把问题模型化；

（2）开始你的行程：在这个数学世界里解决问题；

（3）收起你的雨伞：把结果转回到现实世界中.

理解了为什么要定义 $\displaystyle i = \sqrt{-1}$,也就明白了为什么 $\displaystyle 1\div 0$ 不能享受这种待遇.

问题

若定义$\displaystyle 1\div 0=b$,则$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, a=0$

强行接纳 $\displaystyle 1\div 0$ 反而让数学变得空无一物，为了保住数学的丰富性,我们只能将其舍弃.

负数的雨伞为地理学家测量海拔提供了研究上的便利；对数的雨伞让淹没在乘法中的天文学家得以进入加法的世界,更广泛地说,抽象的雨伞为所有科学家进入数学世界提供了可能.

A 组习题

习$\displaystyle \quad$题

A组

【沪教版必修二复习题A.1】虚数的平方一定是
- 正实数
- 负实数
- 虚数
- 虚数或负实数
2. 【沪教版必修二习题9.1.B8】设$\displaystyle z_1,z_2\in\mathbb{C}$，则“$\displaystyle z_1,z_2$中至少有一个虚数”是“$\displaystyle z_1-z_2$为虚数”的
- 充分不必要条件
- 必要不充分条件
- 充要条件
- 既不充分也不必要条件
3. 【沪教版必修二复习题B.2】设复数$\displaystyle z=a+b\mathrm{i}(a,b\in\mathbb{R})$，则$\displaystyle z^2$是纯虚数的充要条件是
- $\displaystyle a^2=b^2$
- $\displaystyle a^2+b^2\neq 0$
- $\displaystyle |a|=|b|\neq 0$
- $\displaystyle ab\neq 0$
4. 【2021福建省质检1】设复数$\displaystyle z_1,z_2$满足$\displaystyle z_2\neq 0$,且$\displaystyle |z_1\cdot \overline{z_2}|=2|z_2|$,则$\displaystyle z_1$可以是
- $\displaystyle -1-\text{i}$
- $\displaystyle 2+2\text{i}$
- $\displaystyle -1-\sqrt{3}\text{i}$
- $\displaystyle 4\text{i}$
答案

C. 由$\displaystyle |z_1\overline{z_2}|=|z_1||z_2|=2|z_2|,z_2\ne0,$约去$\displaystyle |z_2|>0$,得$\displaystyle |z_1|=2$.四个选项中只有$\displaystyle -1-\sqrt3\mathrm i$的模为$\displaystyle 2$,故选C.
1. 【2007上海文10理9】(多选) 对于非零实数 $\displaystyle a,b$，以下四个命题都成立。那么对于非零复数 $\displaystyle a,b$，仍然成立的命题有（在复数情况下，$\displaystyle |a|$被认为是$\displaystyle a$的模长）
- $\displaystyle a+\frac{1}{a} \neq 0$
- $\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- 若 $\displaystyle |a|=|b|$，则 $\displaystyle a = \pm b$
- 若 $\displaystyle a^2=ab$，则 $\displaystyle a=b$
6. 解答下述问题： 1. 求复数 $\displaystyle \frac{1}{-2+\mathrm{i}} + \frac{1}{1-2\mathrm{i}}$ 的虚部; 2. 求$\displaystyle (1-\mathrm{i})^4$; 3. 【沪教版必修二习题9.1.A10】已知复数$\displaystyle z=q+\mathrm{i}$，求$\displaystyle \frac{\overline{z}^2-\overline{z}+1}{\overline{z}^2+\overline{z}+1}$的值； 4. 【沪教版必修二习题9.2.A6】求值：$\displaystyle |\frac{(\sqrt{5}-2\mathrm{i})(1+\sqrt{3}\mathrm{i})^2}{\sqrt{13}+\sqrt{23}\mathrm{i}}|,|\frac{\overline{(1+3\mathrm{i})^2(4-\mathrm{i})}}{(1-3\mathrm{i})^2}|$. 7. 若 $\displaystyle 1+\sqrt{2}\mathrm{i}$ 是关于 $\displaystyle x$ 的实系数方程 $\displaystyle x^2+bx+c=0$ 的一个复根，求$\displaystyle b,c$. 8. 已知复数$\displaystyle z=a+b\text{i}(a,b\in\mathbb{R},\text{i为虚数单位})$,若$\displaystyle |z|=1,|z-\text{i}|=1$,求$\displaystyle |z-2\text{i}|$. 9. 【2025“漫游数海”回归课本联赛（网络联考）2】已知实数$\displaystyle a,b,c,d$均不为0,有下列四个命题：

甲：复数$\displaystyle a+b\text{i}$与$\displaystyle c+d\text{i}$的和是实数$\displaystyle \quad$乙：复数$\displaystyle a+b\text{i}$与$\displaystyle c+d\text{i}$的差是实数

丙：复数$\displaystyle a+b\text{i}$与$\displaystyle c+d\text{i}$的积是实数$\displaystyle \quad$ 丁：复数$\displaystyle a+b\text{i}$与$\displaystyle c+d\text{i}$ 的商是实数

甲、乙、丙、丁中至多有几个真命题？

答案

四个命题分别等价于$\displaystyle b+d=0, b-d=0, ad+bc=0, bc-ad=0.$甲乙同时真会推出$\displaystyle b=d=0$,与$\displaystyle b,d\ne0$矛盾;丙丁同时真会推出$\displaystyle ad=bc=0$,与$\displaystyle a,b,c,d\ne0$矛盾.因此至多有两个真命题.取适当非零数可使任意指定的两条同时成立,故最大值确为$\displaystyle 2$.
1. 已知复数$\displaystyle z_1=x_1+y_1\mathrm{i},z_2=x_2+y_2\mathrm{i},z_3\neq 0$,证明或反驳
\settasks{ label=(\arabic*), label-width=2em, label-offset=0.2em,
```
item-indent=2em,
column-sep=2em,

after-item-skip=1.5ex
```
}
```
(2)
    \task  若$\displaystyle |z_1|=|z_2|$,则$\displaystyle z_1\cdot \overline{z_1}=z_2\cdot \overline{z_2}$
    \task 若$\displaystyle |z_1|=|z_2|$,则$\displaystyle z_1^2=z_2^2$
    \task 若$\displaystyle z\neq 0$，则$\displaystyle z^2=|z|^2,\frac{z}{\overline{z}}=\frac{z^2}{|z|^2}$
    \task $\displaystyle |z-\overline{z}|=2y$
    \task $\displaystyle z_1\cdot \overline{z_2}=\overline{z_1}\cdot z_2,|z_1\cdot \overline{z_2}|=|\overline{z_1}\cdot z_2|$
    \task 若$\displaystyle z^2\in\mathbb{R}$,则$\displaystyle z\in\mathbb{R}$
    \task 若$\displaystyle z_1z_2\in\mathbb{R}$,则$\displaystyle z_1=\overline{z_2}$
    \task 若$\displaystyle z_1z_3=z_2z_3$，则$\displaystyle z_1=z_2$
```
1. 【人教B版必修四52页第7题】已知复数$\displaystyle z$满足$\displaystyle z+\frac{4}{z}\in\mathbb{R}$,$\displaystyle |z-2|=2$,求$\displaystyle z$.
2. 【2020全国II卷理15】设复数满足$\displaystyle |z_1|=|z_2|=2,z_1+z_2=\sqrt{3}+\mathrm{i}$，求$\displaystyle |z_1-z_2|$.
3. 【2026上海春9】已知$\displaystyle m>1$,复数$\displaystyle z$满足$\displaystyle |z|=2$,且$\displaystyle |z-\text{i}|$的最小值与$\displaystyle |z-m|$的最小值相同,求$\displaystyle m$.
4. 【2025高联一试B4】设复数 $\displaystyle z$ 满足 $\displaystyle z+\mathrm{i}$ 与 $\displaystyle z^2+2\mathrm{i}$ 均为实数,求 $\displaystyle |z^3+3\mathrm{i}|$.
5. 证明平行四边形恒等式：对任意 $\displaystyle z_1, z_2 \in \mathbb{C}$,有 $\displaystyle |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$.

B 组习题

B组

设$\displaystyle r > 0$,复数$\displaystyle z$满足$\displaystyle |z| = r$,则$\displaystyle z + \frac{1}{z}$在复平面上对应的点的轨迹是
- 焦距为4的椭圆
- 焦距为2的椭圆
- 焦距为$\displaystyle \frac{4}{r}$的椭圆
- 焦距为$\displaystyle \frac{2}{r}$的椭圆
2. 【2014陕西8】原命题为“若$\displaystyle z_1,z_2$互为共轭复数,则$\displaystyle |z_1|=|z_2|$”,求其逆命题、否命题、逆否命题的真值. 3. 【1993旧高考理4】已知复数$\displaystyle z=-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$,求$\displaystyle z^{100}+z^{50}+1$. 4. 【1983全国卷文8】已知复数$\displaystyle z=\cos \alpha +\mathrm{i}\sin\alpha$,求证：$\displaystyle z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos 3\alpha$ 5. 已知复数$\displaystyle z_1,z_2$满足$\displaystyle z_1 = \mathrm{i} \cdot \overline{z_2},|z_1 - 1| = 1$,求$\displaystyle |z_1 - z_2|$的取值范围. 6. 【1990全国卷理24】设$\displaystyle a\geqslant 0$,在复数集$\displaystyle \mathbb{C}$中解方程：$\displaystyle z^2+2|z|=a$。 7. 【1996全国卷理4改编】求值：$\displaystyle \frac{(2+2\mathrm{i})^4}{(1-\sqrt{3}\mathrm{i})^5}$. 8. 【2001京蒙皖理18（1）】已知$\displaystyle z^7=1(z\in\mathbb{C},z\neq 1)$.证明：$\displaystyle 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$. 9. 在复数域中解关于$\displaystyle z$的方程$\displaystyle (z^2-4z+5)(z^2+az+9)=0(a\in\mathbb{R})$，得到四个互不相等的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,求$\displaystyle a$的取值范围。 10. 【2025高联一试A5】若正整数 $\displaystyle k$ 满足 $\displaystyle \left(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}+\frac{\sin 25^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}\cdot\mathrm{i}\right)^k \in \mathbb{R}$,求 $\displaystyle k$ 的最小值。 11. 1. 证明：如果 $\displaystyle a,b$ 都是复数，$\displaystyle b \ne 0$，且 $\displaystyle s$ 是正实数，则三个复数 $\displaystyle a + sbi$，$\displaystyle a - sbi$，$\displaystyle a + b$ 在复平面上对应的三个点构成等腰三角形。若复平面上的三个点构成等腰三角形，借助图形，解释说明如何确定上述 $\displaystyle a,b,s$ 的值，使得这三个点对应的复数分别为 $\displaystyle a + sbi$，$\displaystyle a - sbi$ 和 $\displaystyle a + b$。 2. 证明：如果复平面上的等腰三角形的三个顶点对应的复数恰好是方程 $\displaystyle z^3 + pz + q = 0$ 的根（$\displaystyle p,q$ 都是复数），则存在非零实数 $\displaystyle s$，使得 $$\displaystyle \dfrac{p^3}{q^2} = \dfrac{27(3s^2 - 1)^3}{4(9s^2 + 1)^2}.$$ 3. 求函数 $\displaystyle f(x) = \dfrac{(3x - 1)^3}{(9x + 1)^2}$ 的单调区间。 4. 证明：如果复平面上的等腰三角形的三个顶点对应的复数恰好是方程 $\displaystyle z^3 + pz + q = 0$ 的根，则 $\displaystyle \dfrac{p^3}{q^2}$ 是实数且 $\displaystyle \dfrac{p^3}{q^2} > -\dfrac{27}{4}$。 12. 【2023 STEP2第7题】

（1）设复数 $\displaystyle z$ 和 $\displaystyle w$ 都是复数，$\displaystyle z = a + bi$，$\displaystyle w = c + di$。证明 $\displaystyle \lvert zw \rvert = \lvert z \rvert \lvert w \rvert$。

（2）通过考虑复数 $\displaystyle 2 + \mathrm{i}$ 和 $\displaystyle 10 + 11\mathrm{i}$，求一组正整数 $\displaystyle h$ 和 $\displaystyle k$ 使得 $\displaystyle h^2 + k^2 = 5 \times 221$。

（3）求一组正整数 $\displaystyle m$ ，$\displaystyle n$ 使得 $\displaystyle m^2 + n^2 = 8045$。

（4）已知 $\displaystyle 102^2 + 201^2 = 50805$。求一组正整数 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ 使得 $\displaystyle p^2 + q^2 = 36 \times 50805$。

（5）求三组不同的正整数 $\displaystyle r$ 和 $\displaystyle s$，使得 $\displaystyle r^2 + s^2 = 1002082$ 且 $\displaystyle r < s$。

（6）已知 $\displaystyle 109 \times 9193 = 1002037$。求一组正整数 $\displaystyle t$ 和 $\displaystyle u$ 使得 $\displaystyle t^2 + u^2 = 9193$。 13. 数学中的数除实数、复数外,还有四元数.四元数在计算机图形学中有广泛应用,其主要用于描述空间中的旋转.
```
集合$\displaystyle \vv{H} = \{d + a\mathrm{i} + b\mathrm{j} + c\mathrm{k} \mid a,b,c,d \in \mathbb{R}\}$中的元素$\displaystyle \alpha = d + a\mathrm{i} + b\mathrm{j} + c\mathrm{k}$称为四元数,其中$\displaystyle \mathrm{i}$,$\displaystyle \mathrm{j}$,$\displaystyle \mathrm{k}$都是虚数单位,$\displaystyle d$称为$\displaystyle \alpha$的实部,$\displaystyle a\mathrm{i} + b\mathrm{j} + c\mathrm{k}$称为$\displaystyle \alpha$的虚部.两个四元数之间的加法定义为
```
$$\displaystyle \begin{aligned} &(d_1 + a_1\mathrm{i} + b_1\mathrm{j} + c_1\mathrm{k}) + (d_2 + a_2\mathrm{i} + b_2\mathrm{j} + c_2\mathrm{k})= (d_1 + d_2) + (a_1 + a_2)\mathrm{i} + (b_1 + b_2)\mathrm{j} + (c_1 + c_2)\mathrm{k}. \end{aligned}$$ 两个四元数的乘法定义为：$\displaystyle \mathrm{ij} = -\mathrm{ji} = \mathrm{k}$,$\displaystyle \mathrm{jk} = -\mathrm{kj} = \mathrm{i}$,$\displaystyle \mathrm{ki} = -\mathrm{ik} = \mathrm{j}$,$\displaystyle \mathrm{i}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = -1$,四元数的乘法具有结合律,且乘法对加法有分配律. 对于四元数$\displaystyle \alpha$,若存在四元数$\displaystyle \beta$使得$\displaystyle \alpha\beta = \beta\alpha = 1$,称$\displaystyle \beta$是$\displaystyle \alpha$的逆,记为$\displaystyle \beta = \alpha^{-1}$.实部为0的四元数称为纯四元数,把纯四元数的全体记为$\displaystyle W$.
1. 设$\displaystyle a,b,c,d \in \mathbb{R}$,四元数$\displaystyle \alpha = d + a\mathrm{i} + b\mathrm{j} + c\mathrm{k}$.记$\displaystyle \alpha^* = d - a\mathrm{i} - b\mathrm{j} - c\mathrm{k}$表示$\displaystyle \alpha$的共轭四元数； 1. 计算$\displaystyle \alpha\alpha^*$；
  1. 若$\displaystyle \alpha \ne 0$,求$\displaystyle \alpha^{-1}$；
  2. 若$\displaystyle \alpha \ne 0$,$\displaystyle \beta \in W$,证明：$\displaystyle \alpha\beta\alpha^{-1} \in W$；
2. 在空间直角坐标系中,把空间向量$\displaystyle \alpha = (a,b,c)$与纯四元数$\displaystyle \alpha = a\mathrm{i} + b\mathrm{j} + c\mathrm{k}$看作同一个数学对象.设$\displaystyle \alpha,\beta \in W$,$\displaystyle \gamma = \frac{1}{2}(\alpha\beta - \beta\alpha)$. 1. 证明：$\displaystyle \gamma \in W$；
  1. 若$\displaystyle \alpha,\beta$是平面$\displaystyle X$内的两个不共线向量,证明：$\displaystyle \gamma$是$\displaystyle X$的一个法向量.

5.4复数

讲义正文

复数

基本概念

复数的运算

复数的三角表示

欧拉公式

欧拉公式的简单应用

为什么可以对\(\displaystyle -1\)开平方？

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

B 组习题

C 组习题

D 组习题