7.6总复习题
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讲义正文
A 组习题
总复习题
- 【2024长郡二十校联考18】已知抛物线\(\displaystyle \Gamma:y^2=4x\)的焦点为\(\displaystyle F\)，\(\displaystyle C,D,E\)三点在抛物线\(\displaystyle \Gamma\)上，满足\(\displaystyle \overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{FE}=0\)，证明\(\displaystyle C,D,E\)三个顶点的横坐标均小于\(\displaystyle 2\)。
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【2026“fiddie”模拟考17】设 \(\displaystyle \odot O: x^2 + y^2 = 1\)，动点 \(\displaystyle P\) 在 \(\displaystyle \odot O\) 上且不在坐标轴上，\(\displaystyle \odot O\) 在 \(\displaystyle P\) 处的切线与 \(\displaystyle x\) 轴，\(\displaystyle y\) 轴的交点分别为 \(\displaystyle A, B\)，向量 \(\displaystyle \overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)。记动点 \(\displaystyle Q\) 的轨迹为 \(\displaystyle C\)。
- 求 \(\displaystyle C\) 的方程；
- 设椭圆 \(\displaystyle E: m^2x^2 + n^2y^2 = 1 \left(m > 0, n > 0\right)\) 的右顶点为 \(\displaystyle M\), 上顶点为 \(\displaystyle N\)。若 \(\displaystyle E\) 与 \(\displaystyle C\) 有且仅有 \(\displaystyle 4\) 个公共点，证明：直线 \(\displaystyle MN\) 过定点。
答案
（1）设 \(\displaystyle P(x_0,y_0)\),因 \(\displaystyle P\) 在 \(\displaystyle \odot O\) 上且不在坐标轴上,故有 \(\displaystyle |x_0|,|y_0| \in (0,1)\). 由于 \(\displaystyle OP\) 的斜率为 \(\displaystyle \frac{y_0}{x_0}\),故过点 \(\displaystyle P\) 的切线斜率为 \(\displaystyle -\frac{x_0}{y_0}\),切线方程为 \(\displaystyle y-y_0 = -\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)\),即 \(\displaystyle x_0 x + y_0 y = 1\).
因为 $\displaystyle \odot O$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切线与 $\displaystyle x$ 轴,$\displaystyle y$ 轴的交点分别为 $\displaystyle A$、$\displaystyle B$,所以 $\displaystyle A(\frac{1}{x_0},0)$,$\displaystyle B(0,\frac{1}{y_0})$. 设 $\displaystyle Q$ 的坐标为 $\displaystyle (x,y)$,由 $\displaystyle \overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$,得$\displaystyle x = \frac{2}{x_0}, y = \frac{1}{y_0}.$ 因为 $\displaystyle x_0^2 + y_0^2 = 1$,所以点 $\displaystyle Q$ 的轨迹方程为 $\displaystyle C : \frac{4}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 1$. （2）联立曲线$\displaystyle C$与椭圆 $\displaystyle \begin{cases} \frac{4}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 1, \\ m^2 x^2 + n^2 y^2 = 1 \end{cases}$消去$\displaystyle y$得到 $$\displaystyle m^2 x^4 + (n^2 - 4m^2 - 1)x^2 + 4 = 0\eqno{(*)}$$ 在$\displaystyle (*)$中令 $\displaystyle t = x^2$,得到关于 $\displaystyle t$ 的方程 $$\displaystyle m^2 t^2 + (n^2 - 4m^2 - 1)t + 4 = 0\eqno{(**)}$$. 因为 $\displaystyle E$ 和 $\displaystyle C$ 都是以 $\displaystyle O$ 为对称中心的中心对称图形,所以如果 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 是 $\displaystyle E$ 与 $\displaystyle C$ 的其中一个交点,则 $\displaystyle (-x_0,-y_0)$,$\displaystyle (x_0,-y_0)$,$\displaystyle (-x_0,y_0)$ 都是 $\displaystyle E$ 与 $\displaystyle C$ 的交点.则 \(\displaystyle E\) 与 \(\displaystyle C\) 有且仅有 4 个公共点等价于方程\(\displaystyle (**)\)或者有 2 个相同的正根,或者有 1 个正根和 1 个非正根.
设 $\displaystyle t_1,t_2$ 是方程$\displaystyle (**)$的两根,则 $\displaystyle t_1+t_2 = -\frac{n^2 - 4m^2 - 1}{m^2}$,$\displaystyle t_1 t_2 = \frac{4}{m^2} > 0$. 故 $\displaystyle t_1,t_2$ 符号相同,方程$\displaystyle (**)$有两个相同的正根.所以 $\displaystyle \Delta = (n^2 - 4m^2 - 1)^2 - 16m^2 = 0$,即 $\displaystyle |n^2 - 4m^2 - 1| = 4m$ 由于$\displaystyle t_1+t_2 = -\frac{n^2 - 4m^2 - 1}{m^2} > 0$,即 $\displaystyle n^2 - 4m^2 - 1 < 0$. 所以 $\displaystyle n^2 - 4m^2 - 1 = -4m$,即 $\displaystyle n^2 = (2m-1)^2$,可得$\displaystyle n = |2m-1|$. 方程$\displaystyle (**)$的根为 $\displaystyle t = \frac{-(n^2 - 4m^2 - 1)}{2m^2} = \frac{2}{m}$,此时 $\displaystyle x^2 = \frac{2}{m}$,$\displaystyle y^2 = \frac{1-2m}{n^2} > 0$,所以 $\displaystyle 1-2m > 0$,于是 $\displaystyle n = 1-2m$. 因为 $\displaystyle l$ 经过 $\displaystyle E$ 的右顶点 $\displaystyle (\frac{1}{m},0)$ 和上顶点 $\displaystyle (0,\frac{1}{n})$,所以 $\displaystyle l$ 的方程为 $\displaystyle mx+ny=1$. 又因为 $\displaystyle n = 1-2m$ 即 $\displaystyle 2m+n=1$,所以 $\displaystyle l$ 过定点 $\displaystyle (2,1)$. Fiddie评：本题改编自**【2006年全国I卷20】**. 这题的第（1）问就是用相关点法求参数方程,得到曲线 $\displaystyle \frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 1$. 第（2）问的设计参考了**【2018全国 I 卷22（选修 4-4）】**.【2006 全国 I卷20】 在平面直角坐标系 \(\displaystyle xOy\) 中,有一个以 \(\displaystyle F_1(0,-\sqrt{3})\) 和 \(\displaystyle F_2(0,\sqrt{3})\) 为焦点、离心率为 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) 的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线 \(\displaystyle C\),动点 \(\displaystyle P\) 在 \(\displaystyle C\) 上,\(\displaystyle C\) 在点 \(\displaystyle P\) 处的切线与 \(\displaystyle x,y\) 轴的交点分别为 \(\displaystyle A,B\),且向量 \(\displaystyle \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\). 求：
- 点 \(\displaystyle M\) 的轨迹方程；
- \(\displaystyle |\overrightarrow{OM}|\) 的最小值.
【2018 全国 I卷文 22 理 22】 在直角坐标系 \(\displaystyle xOy\) 中,曲线 \(\displaystyle C_1\) 的方程为 \(\displaystyle y = k|x|+2\). 以坐标原点为极点、\(\displaystyle x\) 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 \(\displaystyle C_2\) 的极坐标方程为 \(\displaystyle \rho^2 + 2\rho\cos\theta - 3 = 0\). 1. 求 \(\displaystyle C_2\) 的直角坐标方程； 2. 若 \(\displaystyle C_1\) 和 \(\displaystyle C_2\) 有且仅有三个公共点,求 \(\displaystyle C_1\) 的方程.
本题以圆上动点的切线为起点,通过向量运算生成轨迹曲线 \(\displaystyle C\),再引入椭圆 \(\displaystyle E\) 与曲线 \(\displaystyle C\) 的交点问题,最终转化为直线过定点问题. 题目设置了两问：
第（1）问求轨迹方程,属于基础性的解析几何问题. 它考查了圆的切线方程、向量坐标运算、消参求轨迹等基本知识与方法,属于绝大多数考生应当掌握的层次.
第（2）问在给定交点个数的条件下,证明直线过定点. 这是典型的解析几何综合问题,涉及椭圆方程的设定、曲线的对称性分析、高次方程的消元转化、二次方程根的分布、隐含条件的挖掘与检验,以及定点坐标的求解. 题目结构清晰,由浅入深,入手容易深入难. 第（2）问的解决需要较强的代数变形能力和逻辑推理能力,对思维的严谨性要求较高,具有较好的选拔功能.
本题最大的区分度体现在对 \(\displaystyle y^2 > 0\) 隐含条件的检验上. 从判别式得出 \(\displaystyle n^2 = (2m-1)^2\) 后,若不加检验直接得出 \(\displaystyle n=2m-1\),则会得到错误的定点 \(\displaystyle (2,-1)\) 或者 \(\displaystyle (-2,-1)\),\(\displaystyle (-2,1)\) 等等. 正确的做法必须回到交点存在的根本条件：联立方程组求得的 \(\displaystyle y^2\) 必须非负. 这一设计精准体现了高考“多考一点想,少考一点算”的命题理念.
易错点是处理根号与绝对值时容易出错. 例如： 从 \(\displaystyle (n^2 - 4m^2 - 1)^2 = 16m^2\) 直接得到 \(\displaystyle n^2 - 4m^2 - 1 = 4m\)（即 \(\displaystyle n^2 = (2m+1)^2\)）,而不是写 \(\displaystyle |n^2 - 4m^2 - 1| = 4m\),没有用两根和的关系式（或对称轴）得到 \(\displaystyle n^2 - 4m^2 - 1 < 0\) 从而舍去 \(\displaystyle n^2 - 4m^2 - 1 = 4m\) 的情形. （最多只能拿 \(\displaystyle 9 \sim 10\) 分） 从 \(\displaystyle n^2 = (2m-1)^2\) 直接得到 \(\displaystyle n = 2m-1\),忽略了 \(\displaystyle n = 1-2m\),得出最终的错误答案是 \(\displaystyle (2,-1)\). 这些错误其实都可以通过画草图来规避.
- 【2020浙江21】已知椭圆 \(\displaystyle C_1: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1\)，抛物线 \(\displaystyle C_2: y^2 = 2px \left(p > 0\right)\)，点 \(\displaystyle A\) 是椭圆 \(\displaystyle C_1\) 与抛物线 \(\displaystyle C_2\) 的交点，过点 \(\displaystyle A\) 的直线 \(\displaystyle l\) 交 椭圆 \(\displaystyle C_1\) 于点 \(\displaystyle B\)，交抛物线 \(\displaystyle C_2\) 于点 \(\displaystyle M\)（\(\displaystyle B, M\) 不同于 \(\displaystyle A\)）。若存在不过原点的直线 \(\displaystyle l\) 使 \(\displaystyle M\) 为线段 \(\displaystyle AB\) 的中点，求 \(\displaystyle p\) 的最大值。
- 【2022新高考II卷21】已知双曲线 \(\displaystyle C: x^2 - \frac{y^2}{3} = 1\) 的右焦点为 \(\displaystyle F\)，过 \(\displaystyle F\) 的直线与 \(\displaystyle C\) 的两条渐近线分别交于 \(\displaystyle A, B\) 两点，点 \(\displaystyle P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)\) 在 \(\displaystyle C\) 上，且 \(\displaystyle x_1 > x_2 > 0, y_1 > 0\)。过 \(\displaystyle P\) 且斜率为 \(\displaystyle -\sqrt{3}\) 的直线与过 \(\displaystyle Q\) 且斜率为 \(\displaystyle \sqrt{3}\) 的直线交于点 \(\displaystyle M\)。从下面三个选项中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
$\(\displaystyle (a).M\text{在}AB\text{ 上}\quad (b).PQ \parallel AB\quad (c).|MA| = |MB|\)$ 5. 【2023新高考I卷22】已知抛物线 \(\displaystyle W:y=x^2+\frac{1}{4}\)，矩形 \(\displaystyle ABCD\) 有三个顶点在 \(\displaystyle W\) 上，证明：矩形 \(\displaystyle ABCD\) 的周长大于 \(\displaystyle 3\sqrt{3}\)。 6. 【2024新高考II卷19】已知双曲线 \(\displaystyle C: x^2 - y^2 = 1\)，点 \(\displaystyle P_1\left(5, 4\right)\) 在 \(\displaystyle C\) 上，\(\displaystyle k\) 为常数，\(\displaystyle 0 < k < 1\)。按照如下方式依次构造点 \(\displaystyle P_n \left(n = 2, 3, \cdots\right)\)：过 \(\displaystyle P_{n-1}\) 作斜率为 \(\displaystyle k\) 的直线与 \(\displaystyle C\) 的左支交于点 \(\displaystyle Q_{n-1}\)，令 \(\displaystyle P_n\) 为 \(\displaystyle Q_{n-1}\) 关于 \(\displaystyle y\) 轴的对称点。记 \(\displaystyle P_n\) 的坐标为 \(\displaystyle \left(x_n, y_n\right)\)。
（2）证明：数列 \(\displaystyle |x_n - y_n|\) 是公比为 \(\displaystyle \frac{1+k}{1-k}\) 的等比数列；
（3）设 \(\displaystyle S_n\) 为 \(\displaystyle \triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}\) 的面积，证明：对任意正整数 \(\displaystyle n\)，\(\displaystyle S_n = S_{n+1}\)。