7.2直线与圆基础

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讲义正文

直线与圆基础

A 组习题

习题

A组

【2020全国 III卷理10】若直线 $\displaystyle l$ 与曲线 $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 和圆 $\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{1}{5}$ 都相切，求 $\displaystyle l$ 的方程。
【2020全国 I卷理11】已知 $\displaystyle \odot M: x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$，直线 $\displaystyle l: 2x + y + 2 = 0$，$\displaystyle P$ 为 $\displaystyle l$ 上的动点。过点 $\displaystyle P$ 作 $\displaystyle \odot M$ 的切线 $\displaystyle PA, PB$，切点为 $\displaystyle A, B$。当 $\displaystyle |PM| \cdot |AB|$ 最小时，求直线 $\displaystyle AB$ 的方程。
【2006福建理12】对于直角坐标平面内的任意两点 $\displaystyle A\left(x_1,y_1\right)$、$\displaystyle B\left(x_2,y_2\right)$, 定义 $\displaystyle \|AB\| = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. 证明或证伪：
```
1. 若点 $\displaystyle C$ 在线段 $\displaystyle AB$ 上, 则 $\displaystyle \|AC\| + \|CB\| = \|AB\|$；
```
1. 在 $\displaystyle \triangle ABC$ 中, 若 $\displaystyle \angle C = 90^\circ$, 则 $\displaystyle \|AC\|^2 + \|CB\|^2 = \|AB\|^2$；
2. 在 $\displaystyle \triangle ABC$ 中, $\displaystyle \|AC\| + \|CB\| > \|AB\|$。
3. 【2003广东11】已知长方形的四个顶点 $\displaystyle A\left(0,0\right)$, $\displaystyle B\left(2,0\right)$, $\displaystyle C\left(2,1\right)$ 和 $\displaystyle D\left(0,1\right)$, 一质点从 $\displaystyle AB$ 的中点 $\displaystyle P_0$ 沿与 $\displaystyle AB$ 的夹角 $\displaystyle \theta$ 的方向射到 $\displaystyle BC$ 上的点 $\displaystyle P_1$ 后, 依次反射到 $\displaystyle CD$、$\displaystyle DA$ 和 $\displaystyle AB$ 上的点 $\displaystyle P_2$、$\displaystyle P_3$ 和 $\displaystyle P_4$ (入射角等于反射角), 设 $\displaystyle P_4$ 的坐标为 $\displaystyle \left(x_4,0\right)$, 若 $\displaystyle 1 < x_4 < 2$, 求$\displaystyle \tan \theta$ 的取值范围。
4. 【2009上海理18】过圆 $\displaystyle C: \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$ 的圆心作直线分别交 $\displaystyle x,y$ 正半轴于点 $\displaystyle A,B$, $\displaystyle \triangle AOB$ 被圆分成四部分，且这四部分图形面积满足 $\displaystyle S_I+S_{IV}=S_{II}+S_{III}$, 问满足条件直线 $\displaystyle AB$ 有多少条。
5. 【2013全国I卷理12】已知点$\displaystyle A\left(-1,0\right),B\left(1,0\right),C\left(0,1\right)$，直线$\displaystyle y=ax+b\left(a>0\right)$将$\displaystyle \Delta ABC$分割成面积相等的两部分，求$\displaystyle b$的取值范围。
6. 【2021新高考I卷11】（多选）已知点 $\displaystyle P$ 在圆 $\displaystyle (x-5)^2 + (y-5)^2 = 16$ 上，点 $\displaystyle A(4, 0), B(0, 2)$，则
- 点 $\displaystyle P$ 到直线 $\displaystyle AB$ 的距离小于10
- 点 $\displaystyle P$ 到直线 $\displaystyle AB$ 的距离小于2
- 当 $\displaystyle \angle PBA$ 最小时， $\displaystyle |PB| = 3\sqrt{2}$
- 当 $\displaystyle \angle PBA$ 最大时， $\displaystyle |PB| = 3\sqrt{2}$
8. 【2011安徽15改编】（多选）在平面直角坐标系中，如果$\displaystyle x,y$都是整数，就称点$\displaystyle \left(x,y\right)$为整点，下列命题中正确的是
- 存在恰好经过一个整点的直线
- 若$\displaystyle k$与$\displaystyle b$都是无理数，则直线$\displaystyle y=kx+b$不经过任何整点
- 直线$\displaystyle l$经过无穷多个整点当且仅当$\displaystyle l$经过两个不同的整点
- 直线$\displaystyle y=kx+b$经过无穷多个整点的充分必要条件是：$\displaystyle k$与$\displaystyle b$都是有理数
9. 【2013四川理15改编】（多选）设 $\displaystyle P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为平面 $\displaystyle \alpha$ 内的 $\displaystyle n$ 个点, 在平面 $\displaystyle \alpha$ 内的所有点中, 若点 $\displaystyle P$ 到 $\displaystyle P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的距离之和最小, 则称点 $\displaystyle P$ 为 $\displaystyle P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的一个“中位点”。则下列叙述正确的是
- 若三个点 $\displaystyle A,B,C$ 共线, $\displaystyle C$ 在线段 $\displaystyle AB$ 上, 则 $\displaystyle C$ 是 $\displaystyle A,B,C$ 的中位点
- 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点
- 若四个点 $\displaystyle A,B,C,D$ 共线, 则它们的中位点存在且不唯一
- 梯形四个定点的中位点存在且唯一
10. 【2006江西16改编】（多选）已知圆 $\displaystyle M$: $\displaystyle \left(x + \cos\theta\right)^2 + \left(y - \sin\theta\right)^2 = 1$, 直线 $\displaystyle l$: $\displaystyle y = kx$, 则下列叙述正确的是
- 对任意实数 $\displaystyle k$ 和 $\displaystyle \theta$, 直线 $\displaystyle l$ 和圆 $\displaystyle M$ 相切
- 对任意实数 $\displaystyle k$ 和 $\displaystyle \theta$, 直线 $\displaystyle l$ 和圆 $\displaystyle M$ 有公共点
- 对任意实数 $\displaystyle \theta$, 必存在实数 $\displaystyle k$, 使得直线 $\displaystyle l$ 和圆 $\displaystyle M$ 相切
- 对任意实数 $\displaystyle k$, 必存在实数 $\displaystyle \theta$, 使得直线 $\displaystyle l$ 和圆 $\displaystyle M$ 相切
??? answer "答案"
```
BD.
        A 错.当 $\displaystyle \theta=0,k=0$ 时,直线 $\displaystyle l$ 与圆 $\displaystyle M$ 相交.B 对.圆心 $\displaystyle \left(-\cos\theta,\sin\theta\right)$ 到直线 $\displaystyle l$ 的距离为
$$\displaystyle d=\frac{\left\lvert k\cos\theta+\sin\theta\right\rvert}{\sqrt{k^2+1}}\leqslant\frac{\sqrt{\left(k^2+1\right)\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)}}{\sqrt{k^2+1}}=1.$$
（利用不等式 $\displaystyle \left(ac+bd\right)^2\leqslant\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$,这个不等式利用 $\displaystyle \lvert \vv{x}\cdot\vv{y}\rvert\leqslant\lvert\vv{x}\rvert\lvert\vv{y}\rvert$ 可以证明出来（把向量写成坐标形式）.）因此对任意实数 $\displaystyle k$ 与 $\displaystyle \theta$,直线 $\displaystyle l$ 与圆 $\displaystyle M$ 有公共点.C 错.取 $\displaystyle \theta=0$,此时
$$\displaystyle d=\frac{\lvert k\rvert}{\sqrt{k^2+1}}<\frac{\lvert k\rvert}{\sqrt{k^2}}=1,$$

直线 $\displaystyle l$ 与圆 $\displaystyle M$ 必定相交,不可能相切.D 对.如果 $\displaystyle k$ 给定,把 $\displaystyle d$ 改写为
$$\displaystyle d=\frac{\sqrt{k^2+1}\left\lvert\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}\cos\theta+\frac1{\sqrt{k^2+1}}\sin\theta\right\rvert}{\sqrt{k^2+1}}=\left\lvert \sin\left(\theta+\varphi\right)\right\rvert$$

其中 $\displaystyle \sin\varphi=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}$,$\displaystyle \cos\varphi=\frac1{\sqrt{k^2+1}}$.取 $\displaystyle \theta$ 使得 $\displaystyle \sin\left(\theta+\varphi\right)=1$ 即可.
```
1. 【2007江西理16改编】（多选）设有一组圆 $\displaystyle C_1$: $\displaystyle \left(x-k+1\right)^2 + \left(y-3k\right)^2 = 2k^4$ ($\displaystyle k \in \vv{N}^*$)，则下列叙述正确的是
- 存在一条定直线与所有的圆均相切
- 存在一条定直线与所有的圆均相交
- 存在一条定直线与所有的圆均不相交
- 所有的圆均不经过原点
答案

BD. B 对.注意圆 $\displaystyle C_k$ 的圆心为 $\displaystyle \left(k-1,3k\right)$,所以令 $\displaystyle x=k-1,y=3k$,消去 $\displaystyle k$ 得到 $\displaystyle y=3x+3$,直线 $\displaystyle y=3k+3$ 总是经过所有圆心,从而与所以圆均相交.D 对.如果某个圆 $\displaystyle C_k$ 经过原点,则 $\displaystyle \left(-k+1\right)^2+\left(3k\right)^2=2k^4$,即 $\displaystyle 2k^4-10k^2+2k-1=0$.设 $\displaystyle f(x)=2x^4-10x^2+2x-1\left(x\geqslant1\right)$,则 $\displaystyle f'(x)=8x^3-20x+2$,$\displaystyle f''(x)=24x^2-20>0$.所以 $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle \left[1,+\infty\right)$ 单调递增.但是当 $\displaystyle x\geqslant2$ 时,$\displaystyle f'(x)\geqslant f'(2)=26>0$,所以 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[2,+\infty\right)$ 单调递增.所以当 $\displaystyle x\geqslant3$ 时,$\displaystyle f(x)\geqslant f(3)=77>0$.注意到 $\displaystyle f(2)=-5\ne0$,$\displaystyle f(1)=-7\ne0$,所以不存在正整数 $\displaystyle k$ 使得 $\displaystyle f(k)=0$.

AC 错.如果存在一条定直线与所有的圆不相交或相切,则该直线上的所有点都不位于任何的圆内.我们只需要说明对于平面中的任意点 $\displaystyle \left(x_0,y_0\right)$,总会有充分大的 $\displaystyle k$ 使得该点包含在 $\displaystyle C_k$ 内.事实上,记 $$\displaystyle \begin{aligned} g(k)&=\left(x_0-k+1\right)^2+\left(y_0-3k\right)^2-2k^4\\ &=x_0^2+y_0^2+2x_0\left(-k+1\right)-6y_0k-f(k). \end{aligned}$$

当 $\displaystyle k>0$ 时,$\displaystyle f(k)$ 是个四次多项式,而其余项是关于 $\displaystyle k$ 的一次多项式,所以当 $\displaystyle k\to\infty$ 时,$\displaystyle g(k)\to-\infty$.也就是说必定存在充分大的 $\displaystyle k$ 使得 $\displaystyle g(k)<0$,此时 $\displaystyle \left(x_0,y_0\right)$ 在圆 $\displaystyle C_k$ 内.
1. 【2009江西理16改编】（多选） 设直线系 $\displaystyle M: x\cos\theta + \left(y-2\right)\sin\theta = 1$ ($\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$), 则下列叙述正确的是
- $\displaystyle M$ 中所有直线均经过一个定点
- 存在定点 $\displaystyle P$ 不在 $\displaystyle M$ 中的任一条直线上
- 对于任意整数 $\displaystyle n$ ($\displaystyle n \geqslant 3$), 存在正 $\displaystyle n$ 边形, 其所有边均在 $\displaystyle M$ 中的直线上
- $\displaystyle M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
答案

BC. 点 $\displaystyle P\left(0,2\right)$ 到 $\displaystyle M$ 中每条直线的距离 $\displaystyle d=\frac1{\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}}=1$.故所有 $\displaystyle M$ 构成的集合是圆 $\displaystyle C:x^2+\left(y-2\right)^2=1$ 的全体切线组成的集合.

A 错：圆 $\displaystyle C$ 的所有切线之间必能找到一对平行直线,此时没交点,所以 $\displaystyle M$ 不可能过定点. B 对：圆 $\displaystyle C$ 的圆心 $\displaystyle \left(0,2\right)$ 不在任何直线上.C 对：存在正 $\displaystyle n$ 边形使得内切圆为圆 $\displaystyle C$.D 错：注意可以围成如下两种正三角形：$\displaystyle \triangle ABC$ 与 $\displaystyle \triangle CDE$.
1. 【2026新高考I卷11】（多选）已知圆 $\displaystyle C_1: (x+1)^2 + y^2 = 1, C_2: (x-1)^2 + y^2 = 1, C_3: x^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 1$, 直线 $\displaystyle l: y=kx+b$ 与 $\displaystyle C_1, C_2, C_3$ 均有两个交点，记 $\displaystyle l$ 被 $\displaystyle C_1, C_2, C_3$ 截得的弦长分别为 $\displaystyle s_1, s_2, s_3$，则
- $\displaystyle k$ 可以取任意实数
- 满足 $\displaystyle s_1=s_2=s_3$ 的直线 $\displaystyle l$ 共有 $\displaystyle 3$ 条
- 满足 $\displaystyle s_1+s_2+s_3=1$ 的直线 $\displaystyle l$ 多于 $\displaystyle 3$ 条
- 当 $\displaystyle b=0$ 时，$\displaystyle s_1+s_2+s_3$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{2\sqrt{21}}{3}$
答案

BCD. 对于 A 选项，设 $\displaystyle \odot C_1，\odot C_3$ 外切的共同切点为点 $\displaystyle A$，连接 $\displaystyle AC_2$，将 $\displaystyle AC_2$ 所在直线平行移动，此时 $\displaystyle AC_2$ 与 $\displaystyle C_1，C_3$ 不可能同时有 $\displaystyle 2$ 个交点。故 $\displaystyle k$ 不可以取任何实数，A 选项错误。

对于 B 选项，要使得$\displaystyle s_1=s_2=s_3$，圆心$\displaystyle C_1,C_2,C_3$到该直线的距离相等，若$\displaystyle C_1,C_2$到直线$\displaystyle l$的距离相等，则必有$\displaystyle l\parallel$直线$\displaystyle C_1C_2$，设$\displaystyle C_1C_2$的中点为$\displaystyle D$，在此基础之上，要使得$\displaystyle C_3$到$\displaystyle l$的距离等于$\displaystyle C_1$到$\displaystyle l$的距离，则$\displaystyle l$只可能为线段$\displaystyle C_3D$的垂直平分线。根据对称性，满足条件的直线一共有3条，B选项正确。

对于 D 选项，考虑所有过原点 $\displaystyle O$ 的直线 $\displaystyle y=kx$，则 $\displaystyle \lvert k\rvert>\sqrt2$。此时 $\displaystyle s_1=s_2=2\sqrt{1-\frac{k^2}{k^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}},s_3=2\sqrt{1-\frac{3}{k^2+1}}=\frac{2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{k^2+1}}.$

则$\displaystyle s_1+s_2+s_3=\frac{2\left(2+\sqrt{k^2-2}\right)}{\sqrt{k^2+1}}$,具体求解方法见第二章。D选项正确。

对于 C 选项，注意到满足 B 选项要求的直线使得$\displaystyle s_1=s_2=s_3$ ，于是$\displaystyle s_1+s_2+s_3=3$，目前找到了三条直线。

再考虑所有直线 $\displaystyle y=kx$，因为直线 $\displaystyle OA$ 的斜率 $\displaystyle k=-\sqrt3$，对应于 $\displaystyle t=2$，即 $\displaystyle f(2)=3$。另一方面，由 $\displaystyle f(t_0)>3$ 且 $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)=1$，结合零点存在定理（或介值定理）可知存在 $\displaystyle t_1\in\left(t_0,+\infty\right)$ 使得 $\displaystyle f(t_1)=3$，取 $\displaystyle k_1=\sqrt{t_1^2-1}$，则当直线 $\displaystyle l$ 的方程为 $\displaystyle y=k_1x$ 时，也满足 $\displaystyle s_1+s_2+s_3=3$，所以满足 $\displaystyle s_1+s_2+s_3=3$ 的直线 $\displaystyle l$ 多于 $\displaystyle 3$ 条。C选项正确。
1. 解答下述基础习题：
（1）【2004安徽文12】已知直线 $\displaystyle l: x - y - 1 = 0$, $\displaystyle l_1: 2x - y - 2 = 0$. 若直线 $\displaystyle l_2$ 与 $\displaystyle l_1$ 关于 $\displaystyle l$ 对称, 求$\displaystyle l_2$ 的方程；

（2）【2013四川文15】在平面直角坐标系内，求到点$\displaystyle A\left(1,2\right),B\left(1,5\right),C\left(3,6\right),D\left(7,-1\right)$的距离之和最小的点的坐标；

（3）【2026佛山一模7】求圆$\displaystyle O_1:x^2+y^2=4$和圆$\displaystyle O_2:x^2+y^2+6x+8y+9=0$的两条公切线的交点坐标；

（4）【2010江苏9】已知圆 $\displaystyle x^2+y^2=4$ 上有且仅有四个点到直线 $\displaystyle 12x-5y+c=0$ 的距离为 $\displaystyle 1$, 求实数 $\displaystyle c$ 的取值范围；

（5）【2008大纲卷II理16】 已知 $\displaystyle AC,BD$ 为圆 $\displaystyle O: x^2+y^2=4$ 的两条相互垂直的弦, 垂足为 $\displaystyle M\left(1,\sqrt{2}\right)$, 求四边形 $\displaystyle ABCD$ 的面积的最大值；

（6）【2018上海12】已知实数$\displaystyle x_1,x_2,y_1,y_2$满足$\displaystyle x_1^2+y_1^2=1,x_2^2+y^2_2=1,x_1x_2+y_1y_2=\frac{1}{2}$，求$\displaystyle \frac{|x_1+y_1-1|}{\sqrt{2}}+\frac{|x_2+y_2-1|}{\sqrt{2}}$的最大值；

（7）【1984全国卷理18】在$\displaystyle \Delta ABC$中，$\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别为$\displaystyle a,b,c$，且$\displaystyle c=10,\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle P$为$\displaystyle \Delta ABC$的内切圆上的动点，求点$\displaystyle P$到顶点$\displaystyle A,B,C$的距离的平方和的最大值和最小值。

（8）【2020江苏14】在平面直角坐标系$\displaystyle xOy$中，$\displaystyle P\left(\frac{\sqrt{3}}2{,0}\right)$。已知$\displaystyle A,B$是圆$\displaystyle C:x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=36$上的两个动点，满足$\displaystyle PA=PB$，求$\displaystyle \Delta PAB$面积的最大值；
答案

\par 新答案（来源：1.20 直线与圆.md）： $\displaystyle \left(2,4\right)$

【解题思路】到点$\displaystyle A$，$\displaystyle C$距离之和最小的点为线段$\displaystyle AC$上的点，到点$\displaystyle B$、$\displaystyle D$距离之和最小的点为线段$\displaystyle BD$上的点，所以到$\displaystyle A$，$\displaystyle B$，$\displaystyle C$，$\displaystyle D$的距离之和最小的点为$\displaystyle AC$与$\displaystyle BD$的交点．直线$\displaystyle AC$的方程为$\displaystyle 2x-y=0$，直线$\displaystyle BD$的方程为$\displaystyle x+y-6=0$，其交点坐标为$\displaystyle \left(2,4\right)$，且该点在线段$\displaystyle AC$、线段$\displaystyle BD$上．

【实测数据】本题文科难度$\displaystyle 0.18$．
```
\par
 新答案（来源：1.20 直线与圆.md）：
```
$\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{2}$

【解题思路】设$\displaystyle A\left(x_1,y_1\right)$，$\displaystyle B\left(x_2,y_2\right)$，则$\displaystyle A$，$\displaystyle B$都在单位圆$\displaystyle x^2+y^2=1$上，且$\displaystyle \vv{OA}\cdot\vv{OB}=\frac{1}{2}$，则$\displaystyle \angle AOB=60^\circ$．

连接$\displaystyle AB$，记$\displaystyle AB$的中点为$\displaystyle T$，作$\displaystyle TH\perp l$于点$\displaystyle H$，则

\[\displaystyle u=\frac{\left|x_1+y_1-1\right|}{\sqrt{2}}+\frac{\left|x_2+y_2-1\right|}{\sqrt{2}}=2\left|TH\right|\]

当且仅当$\displaystyle T$，$\displaystyle O$，$\displaystyle H$三点共线（且$\displaystyle T$在直线$\displaystyle l$下方）时，$\displaystyle u_{\max}=2\left(\left|OT\right|+\left|OH\right|\right)=\sqrt{3}+\sqrt{2}$．
1. 【2010广东理21】 设 $\displaystyle A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right)$ 是平面直角坐标系 $\displaystyle xOy$ 上的两点, 现定义由点 $\displaystyle A$ 到点 $\displaystyle B$ 的一种折线距离 $\displaystyle \rho\left(A,B\right)$ 为 $\displaystyle \rho\left(A,B\right) = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$. 对于平面 $\displaystyle xOy$ 上给定的不同的两点 $\displaystyle A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right)$.
（1）若点 $\displaystyle C\left(x,y\right)$ 是平面 $\displaystyle xOy$ 上的点, 试证明 $\displaystyle \rho\left(A,C\right)+\rho\left(C,B\right) \geqslant \rho\left(A,B\right)$；

（2）在平面 $\displaystyle xOy$ 上是否存在点 $\displaystyle C\left(x,y\right)$, 同时满足 $$\displaystyle (a).\rho\left(A,C\right)+\rho\left(C,B\right) = \rho\left(A,B\right)\quad (b).\rho\left(A,C\right)=\rho\left(C,B\right)$$ 若存在, 请求出所有符合条件的点; 若不存在, 请予以证明。

B 组习题

B组

【2026“港梦杯”（网络联考）11】在平面直角坐标系 $\displaystyle xOy$ 中，已知圆 $$\displaystyle O_1: \left(x+2\right)^2 + y^2 = 1,\quad O_2: x^2 + y^2 = 1,\quad O_3: \left(x-2\right)^2 + y^2 = 1$$ 集合 $\displaystyle A_d$ 表示当 $\displaystyle O_1, O_2, O_3$ 到直线 $\displaystyle l$ 的距离之和为 $\displaystyle d$ 时，$\displaystyle l$ 与圆 $\displaystyle O_1, O_2, O_3$ 可能的总交点个数，则
- $\displaystyle A_1 = \left\{4,5,6\right\}$
- $\displaystyle A_2 = \left\{3,4,5,6\right\}$
- $\displaystyle A_3 = \left\{2,3,4\right\}$
- $\displaystyle A_4 = \left\{0,1,2,3\right\}$

7.2直线与圆基础

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