5.3解三角形

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讲义正文

解三角形

基本概念

问题

解答下述问题：

（1）试述正弦定理,余弦定理并给出推导过程；

（2）试述海伦公式并给出推导过程.

A 组习题

习$\displaystyle \quad$题

【2010上海理18】 某人要作一个三角形, 要求它的三条高的长度分别是 $\displaystyle \frac{1}{13},\frac{1}{11},\frac{1}{5}$, 则此人将
```
<div class="choices choices--4" markdown>
```
- 不能作出满足要求的三角形
- 作出一个锐角三角形
- 作出一个直角三角形
- 作出一个钝角三角形

答案

B. 设三边为$\displaystyle a,b,c$,对应高为$\displaystyle h_a=1/13,h_b=1/11,h_c=1/5$. 因此三边之比为 $$\displaystyle a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5.$$ 这是可以作出的，由于$\displaystyle 5^2+11^2=146<13^2$，该三角形为锐角三角形。

 新答案（来源：1.12 解三角形.md）：

【解题思路】因为$\displaystyle \triangle ABC$的面积可表示为

\[\displaystyle S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}bh_c\]

其中$\displaystyle h_a,h_b,h_c$分别是$\displaystyle a,b,c$所在的边的高．

则$\displaystyle a=\frac{2S}{h_a}$，$\displaystyle b=\frac{2S}{h_b}$，$\displaystyle c=\frac{2S}{h_c}$．

不妨设$\displaystyle h_a=\frac{1}{13}$，$\displaystyle h_b=\frac{1}{11}$，$\displaystyle h_c=\frac{1}{5}$，则$\displaystyle a:b:c=13:11:5$．

于是$\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{121+25-169}{2\times11\times5}<0$，所以，一定是钝角三角形．

【实测数据】本题难度$\displaystyle 0.55$，区分度$\displaystyle 0.34$，选$\displaystyle A$、$\displaystyle B$、$\displaystyle C$、$\displaystyle D$分别占比$\displaystyle 16.74\%$、$\displaystyle 23.39\%$、$\displaystyle 4.46\%$、$\displaystyle 54.94\%$．

【易错警示】本题在解题过程中，隐含着一个高与边转换的关系，有些学生不能洞察这一关系，显得一筹莫展，这样的学生一般选择了$\displaystyle A$，所占比率有$\displaystyle 16.74\%$．

【2010湖北理10】已知 $\displaystyle \triangle ABC$ 的三边边长为 $\displaystyle a,b,c$ ($\displaystyle a \leqslant b \leqslant c$), 定义它的倾斜度为 $\displaystyle t = \max\left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\} \cdot \min\left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}$, 则“$\displaystyle t=1$”是“$\displaystyle \triangle ABC$ 为等边三角形”的

必要不充分条件
充分不必要条件
充要条件
既不充分也不必要条件

答案

A.必要性成立，若三角形为等边三角形,易得$\displaystyle t=1$.充分性不成立，由$\displaystyle a\leqslant b\leqslant c$,有$$\displaystyle \max\left\{\frac ab,\frac bc,\frac ca\right\}=\frac ca, \min\left\{\frac ab,\frac bc,\frac ca\right\}=\min\left\{\frac ab,\frac bc\right\}.$$

假设$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{b}{c}$,那么$\displaystyle t=\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=1$,于是$\displaystyle b=c$，取$\displaystyle (a,b,c)=(1,2,2)$可以构成三角形,满足对应的$\displaystyle t=1$，但不是等边三角形.于是选A。

评：实测数据：本题文科难度$\displaystyle 0.51$，区分度$\displaystyle 0.40$，选$\displaystyle A$、$\displaystyle B$、$\displaystyle C$、$\displaystyle D$的比率分别为$\displaystyle 21.13\%$、$\displaystyle 50.56\%$、$\displaystyle 21.32\%$、$\displaystyle 6.77\%$；理科难度$\displaystyle 0.67$，区分度$\displaystyle 0.42$，选$\displaystyle A$、$\displaystyle B$、$\displaystyle C$、$\displaystyle D$的比率分别为$\displaystyle 11.6\%$、$\displaystyle 67.38\%$、$\displaystyle 16.96\%$、$\displaystyle 3.88\%$

【2025“集英苑测试”（网络联考）6】已知$\displaystyle a,b,c>0$,则“$\displaystyle a,b,c$可以构成锐角三角形的三边长”是“$\displaystyle a^2,b^2,c^2$可以构成三角形的三边长”的

充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件

答案

C. 充分性成立，不妨设最大边为$\displaystyle c$.三角形为锐角三角形当且仅当$\displaystyle c^2<a^2+b^2.$此时$\displaystyle a^2,b^2,c^2$可以构成三角形的三边长。必要性成立，已知$\displaystyle a^2,b^2,c^2$能构成三角形,则一定有$\displaystyle c^2<a^2+b^2$，此时$\displaystyle a,b,c$构成一个锐角三角形的三边长。

【2014 全国 II卷4】已知钝角三角形 $\displaystyle ABC$ 的面积是 $\displaystyle \frac{1}{2}$，$\displaystyle AB = 1, BC = \sqrt{2}$，求$\displaystyle AC$。

$\displaystyle 5$
$\displaystyle \sqrt{5}$
$\displaystyle 2$
$\displaystyle 1$

5. 【2025“fiddie”模拟考6】在 $\displaystyle \triangle ABC$中,有$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{b}{c} = 2$,求 $\displaystyle \frac{a}{c}$.

答案

由正弦定理可得$\displaystyle \frac{\sin B}{\sin C}=\frac bc=2.(*)$ 又$\displaystyle A/B=2$,所以$\displaystyle A=2B$,$\displaystyle C=\pi-3B$,即$\displaystyle \sin C=\sin3B$.带入$\displaystyle (*)$式有 $$\displaystyle 2\sin3B=\sin B.$$ 展开三倍角 $\displaystyle \sin3B=3\sin B-4\sin^3B$并约去$\displaystyle \sin B$，得到$\displaystyle 2(3-4\sin^2B)=1$,于是$\displaystyle \sin^2B=\frac58.$ 故$\displaystyle \cos^2B=3/8$,由于$\displaystyle B$为锐角,所以$\displaystyle \cos B=\sqrt{3/8}$.于是 $$\displaystyle \frac ac=\frac{\sin A}{\sin C} =\frac{\sin2B}{\sin3B} =\frac{2\sin B\cos B}{\sin B/2} =4\cos B=4\sqrt{3/8}=\sqrt6.$$

【2024全国甲卷理11文12改编】在$\displaystyle \Delta ABC$中,有$\displaystyle B=\frac{2\pi}{3},b^2=6ac$,求$\displaystyle \cos A+\cos C$.

答案

$\displaystyle \sqrt{42}/4.$将$\displaystyle b^2=6ac$边化角，可以得到$\displaystyle \sin A\sin C=\frac{1}{6}\sin^2B=\frac{1}{8}$.又由$\displaystyle \cos B=-\cos (A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C$可以得到$\displaystyle \cos A\cos C=\frac{5}{8}$

由余弦定理，有$$\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{\sin^2A+\sin^2C-\sin^2B}{2\sin A\sin C}=\cos B$$

可以得到$\displaystyle \sin^2A+\sin^2C=\frac{5}{8}$,于是$\displaystyle \cos^2A+\cos^2C=\frac{11}{8}$，故 $$\displaystyle \cos A+\cos C=\sqrt{\cos^2A+\cos^2C=2\cos A\cos C}=\frac{\sqrt{42}}{4}$$

【2008江苏13】求满足$\displaystyle AB=2,AC=\sqrt{2}BC$的三角形$\displaystyle ABC$的面积最大值.
【2005湖南理10】设$\displaystyle P$是$\displaystyle \Delta ABC$内任意一点,$\displaystyle S_{\Delta ABC}$表示$\displaystyle \Delta ABC$的面积,$\displaystyle \lambda_1=\frac{S_{\Delta PBC}}{S_{\Delta ABC}},\lambda_2=\frac{S_{\Delta PCA}}{S_{\Delta ABC}},\lambda_3=\frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta ABC}}$,定义$\displaystyle f(P)=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$,若$\displaystyle G$是$\displaystyle \Delta ABC$的重心,$\displaystyle f(Q)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})$,则

点 $\displaystyle Q$ 在 $\displaystyle \Delta GAB$ 内
点 $\displaystyle Q$ 在 $\displaystyle \Delta GBC$ 内
点 $\displaystyle Q$ 在 $\displaystyle \Delta GCA$ 内
点 $\displaystyle Q$ 与点 $\displaystyle G$ 重合

答案

A.重心$\displaystyle G$满足$\displaystyle f(G)=(1/3,1/3,1/3)$,考虑由$\displaystyle G$作若干移动到$\displaystyle Q$，为保证第二个分量仍为$\displaystyle 1/3$，应将$\displaystyle G$沿直线$\displaystyle AC$平移，要使得第一个分量增大到$\displaystyle 1/2$，则应向$\displaystyle \vv{CA}$方向平移到$\displaystyle \triangle GAB$内部。

评：实测数据：本题理科难度为$\displaystyle 0.550$，区分度为$\displaystyle 0.549$

【2006安徽理11】如果$\displaystyle \Delta A_1B_1C_1$的三个内角的余弦值分别等于$\displaystyle \Delta A_2B_2C_2$的三个内角的正弦值,则

（A）$\displaystyle \Delta A_1B_1C_1$和$\displaystyle \Delta A_2B_2C_2$都是锐角三角形

（B）$\displaystyle \Delta A_1B_1C_1$和$\displaystyle \Delta A_2B_2C_2$都是钝角三角形

（C）$\displaystyle \Delta A_1B_1C_1$是钝角三角形,$\displaystyle \Delta A_2B_2C_2$是锐角三角形

（D）$\displaystyle \Delta A_1B_1C_1$是锐角三角形,$\displaystyle \Delta A_2B_2C_2$是钝角三角形

答案

D. 三角形$\displaystyle A_1B_1C_1$的三个余弦值等于正数,故其三个角均为锐角.下证明三角形$\displaystyle A_2B_2C_2$为钝角三角形，采取反证法证明。假设三角形$\displaystyle A_2B_2C_2$为锐角三角形，记三角形$\displaystyle A_1B_1C_1$中的三个角的大小为$\displaystyle x,y,z$（忽略顺序），于是$\displaystyle \sin A_2=\cos x,\sin B_2=\cos y,\sin C_2=\cos z$.对于$\displaystyle \sin C_2$要保证$\displaystyle \cos z$为正值，即$\displaystyle x+y>\frac{\pi}{2}$.下分析$\displaystyle A_2,B_2.$可知$$\displaystyle \sin A_2=\sin(\frac{\pi}{2}-x),\quad sin B_2=\sin(\frac{\pi}{2}-y)$$

讨论诸情况，只可能有$\displaystyle A_2=\frac{\pi}{2}-x,B_2=\frac{\pi}{2}-y$，而$\displaystyle A_2+B_2=\pi -x-y<\frac{\pi}{2}$，此时$\displaystyle C_2>\frac{\pi}{2}$，矛盾，故假设错误，$\displaystyle \triangle A_2B_2C_2$为钝角三角形.

【2020江苏13】在锐角$\displaystyle \Delta ABC$中,$\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$,求$\displaystyle \frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}$.
【2016江苏14】在锐角 $\displaystyle \triangle ABC$ 中, $\displaystyle \sin A=2\sin B\sin C$, 求 $\displaystyle \tan A\tan B\tan C$ 的最小值.

答案

题设可化为 $$\displaystyle \sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C.$$ 因三角形为锐角,令$\displaystyle x=\tan B,y=\tan C$,两边同除$\displaystyle \cos B\cos C>0$得$\displaystyle x+y=2xy.$设$\displaystyle xy=p$，由$\displaystyle x+y=2xy\geqslant 2\sqrt{xy}$可以得到$\displaystyle p$的取值范围是$\displaystyle p\geqslant 1$。由$\displaystyle \tan A=-\tan(B+C)=\frac{x+y}{xy-1}.$可得（设$\displaystyle p-1=u$） $$\displaystyle \tan A\tan B\tan C =\frac{xy(x+y)}{xy-1} =\frac{2p^2}{p-1}=\frac{2(u+1)^2}{u}\geqslant 8$$

当$\displaystyle u=1$,即$\displaystyle xy=2$时取到等号，所以最小值为$\displaystyle 8$.

在锐角$\displaystyle \Delta ABC$中,已知$\displaystyle a^2=b^2+bc$,求$\displaystyle \frac{c}{b}+\frac{2}{\cos^2B}$的最小值.
【2013重庆理20】在 $\displaystyle \triangle ABC$ 中,已知 $$\displaystyle a^2+b^2+\sqrt{2}ab=c^2,\quad \cos A \cos B=\frac{3\sqrt{2}}{5},\quad \frac{\cos(\alpha+A)\cos(\alpha+B)}{\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$求 $\displaystyle \tan\alpha$.

答案

由$\displaystyle a^2+b^2+\sqrt2ab=c^2$及余弦定理得到$\displaystyle C=3\pi/4.$ 展开第三式，得到$$\displaystyle \frac{(\sin\alpha\sin A-\cos\alpha\cos A)(\sin\alpha\sin B-\cos\alpha\cos B)}{\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$化简有 $$\displaystyle \tan^2\alpha\sin A\sin B-\tan\alpha\sin(A+B)+\cos A\cos B=\frac{\sqrt{2}}{5}(*)$$

因为 $\displaystyle -\cos C=\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，由此得到 $\displaystyle \sin A\sin B=\frac{\sqrt{2}}{10}$，将上述已知量代回$\displaystyle (*)$式，得到 $$\displaystyle \tan^2\alpha-5\tan\alpha+4=0$$解得 $\displaystyle \tan\alpha=1$ 或 $\displaystyle \tan\alpha=4$。

【2007四川文12】$\displaystyle l_1,l_2,l_3$ 是同一平面内从上到下排布的三条平行直线, $\displaystyle l_1$ 与 $\displaystyle l_2$ 间的距离是 $\displaystyle 1$, $\displaystyle l_2$ 与 $\displaystyle l_3$ 间的距离是 $\displaystyle 2$, 正三角形 $\displaystyle ABC$ 的三顶点分别在 $\displaystyle l_1,l_2,l_3$ 上, 求 $\displaystyle \triangle ABC$ 的边长.
【2021全国乙卷理9】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点 $\displaystyle E, H, G$ 在水平线 $\displaystyle AC$ 上,$\displaystyle DE$ 和 $\displaystyle FG$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,$\displaystyle EG$ 称为“表距”,$\displaystyle GC$ 和 $\displaystyle EH$ 都称为“表目距”,$\displaystyle GC$ 与 $\displaystyle EH$ 的差称为“表目距的差”,则海岛的高 $\displaystyle AB =$

$\displaystyle \frac{\text{表高} \times \text{表距}}{\text{表目距的差}} + \text{表高}$
$\displaystyle \frac{\text{表高} \times \text{表距}}{\text{表目距的差}} - \text{表高}$
$\displaystyle \frac{\text{表高} \times \text{表距}}{\text{表目距的差}} + \text{表距}$
$\displaystyle \frac{\text{表高} \times \text{表距}}{\text{表目距的差}} - \text{表距}$

16. 【1998全国卷文14改编】一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,求其最小内角的正弦值. 17. 【2006全国II卷14】 已知 $\displaystyle \triangle ABC$ 的三个内角 $\displaystyle A,B,C$ 成等差数列， $\displaystyle AB=1$，$\displaystyle BC=4$，求边 $\displaystyle BC$ 上的中线 $\displaystyle AD$ 的长。 18. 在$\displaystyle \triangle ABC$中,$\displaystyle AB=2$,$\displaystyle AC=6$,$\displaystyle \angle B-\angle C=60^\circ$,求$\displaystyle BC$. 19. 【2022全国甲卷理16】已知$\displaystyle \Delta ABC$中,点$\displaystyle D$在边$\displaystyle BC$上,$\displaystyle \angle ADB=120^\circ,AD=2,CD=2BD$,当$\displaystyle \frac{AC}{AB}$取得最小值时,求$\displaystyle BD$.

答案

令$\displaystyle BD=x$,则$\displaystyle CD=2x$,故$\displaystyle BD=x$.分别在$\displaystyle \triangle ADB,ADC$中用余弦定理 $$\displaystyle AB^2&=AD^2+BD^2-2AD\cdot BD\cos120^\circ =x^2+2x+4. AC^2&=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos 60^\circ=4x^2-4x+4.$$

不妨求$\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)^2$的最小值，分离分子的二次项有

\[\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 &=\frac{4x^2-4x+4}{x^2+2x+4}=4[1-3\times \frac{x+1}{(x+1)^2+3}] &=4[1-3\times \frac{1}{x+1+\frac{3}{x+1}}].\]

当$\displaystyle x+1+\frac{3}{x+1}$取到最小值时，上式取到最小值，此时$\displaystyle x=\sqrt{3}-1$，于是当$\displaystyle \left(\frac{AC}{AB}\right)$取最小值时，$\displaystyle BD=\sqrt{3}-1$

【2023全国甲卷理16】在$\displaystyle \Delta ABC$中,$\displaystyle \angle BAC=60^\circ,AB=2,BC=\sqrt{6}$,$\displaystyle \angle BAC$的角平分线交$\displaystyle BC$于$\displaystyle D$,求$\displaystyle AD$.
【2015全国I卷16】平面四边形$\displaystyle ABCD$中,$\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=75^{\circ},BC=2$,求$\displaystyle AB$的取值范围.
【2023温州三模15】已知$\displaystyle \Delta ABC$内有一点$\displaystyle P$,满足$\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=30^{\circ},AB=2,\sin\angle ABC=3/5$,求$\displaystyle PB$.
在$\displaystyle \triangle ABC$中,已知$\displaystyle \angle A=60^\circ$,$\displaystyle \angle C=30^\circ$,$\displaystyle AC=4$,$\displaystyle D,E,F$分别在边$\displaystyle AC$,$\displaystyle BC$,$\displaystyle AB$上,且$\displaystyle \triangle DEF$为等边三角形,求$\displaystyle \triangle DEF$面积的最小值.
【2000京皖理19】在 $\displaystyle \triangle ABC$ 中,证明: $\displaystyle \frac{a^2 - b^2}{c^2} = \frac{\sin(A-B)}{\sin C}$.
四边形$\displaystyle ABCD$中,$\displaystyle AB = 1$,$\displaystyle CD = AD = 2$,$\displaystyle BC = 3$,$\displaystyle \angle BAD + \angle BCD = \pi$.$\displaystyle P$为边$\displaystyle BC$上一点,且$\displaystyle \triangle PCD$的面积为$\displaystyle \sqrt{3}$,求$\displaystyle \triangle ABP$的外接圆半径.
【2026 新高考I卷16】 已知在 $\displaystyle \triangle ABC$ 中，$\displaystyle AB=3$，$\displaystyle BC=2\sqrt3$，$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt3}{3}$。
求 $\displaystyle \cos A$；
设 $\displaystyle D$，$\displaystyle E$ 两点满足：$\displaystyle D$ 在 $\displaystyle BA$ 的延长线上，$\displaystyle DE\parallel BC$，$\displaystyle AE\perp AC$。若 $\displaystyle DE=\sqrt6$，求 $\displaystyle CE$。

答案

（1）由余弦定理，$\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot\cos B=9+12-2\times3\times2\sqrt3\times\frac{\sqrt3}{3}=9$，所以 $\displaystyle AC=3$。由余弦定理，$\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\frac13$。

（2）因为 $\displaystyle DE\parallel BC$，$\displaystyle D$ 在 $\displaystyle BA$ 的延长线上，所以 $\displaystyle \angle ADE=\pi-\angle DBC$。由 $\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt3}{3}$，$\displaystyle B\in\left(0,\pi\right)$ 得 $\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt6}{3}$。从而 $\displaystyle \sin\angle ADE=\sin B=\frac{\sqrt6}{3}$。

因为 $\displaystyle AE\perp AC$，所以 $\displaystyle \angle DAE=\pi-\angle AEC-\angle BAC=\frac{\pi}{2}-\angle BAC$，从而 $\displaystyle \sin\angle DAE=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\angle BAC\right)=\cos\angle BAC=\frac13$。

在 $\displaystyle \triangle ADE$ 中，由正弦定理，$\displaystyle \frac{AE}{\sin\angle ADE}=\frac{DE}{\sin\angle DAE}$，所以 $\displaystyle AE=\frac{DE\sin\angle ADE}{\sin\angle DAE}=6$。又 $\displaystyle AE\perp AC$，所以 $\displaystyle CE=\sqrt{AE^2+AC^2}=3\sqrt5$。

在$\displaystyle \triangle ABC$中,已知$\displaystyle AB=2$,$\displaystyle AC=6\sqrt{2}$,$\displaystyle \angle BAC=45^\circ$,$\displaystyle BC$,$\displaystyle AC$边上的两条中线$\displaystyle AM$,$\displaystyle BN$相交于点$\displaystyle P$.分别求$\displaystyle \angle BAM$的正弦值与$\displaystyle \angle MPN$的余弦值.
【2024长沙适应性考试20】在$\displaystyle \triangle ABC$中,$\displaystyle a^2-b^2=bc^2$。点$\displaystyle D$在线段$\displaystyle AB$的延长线上，且$\displaystyle |AB|=3$,$\displaystyle |BD|=1$,当点$\displaystyle C$运动时,判断$\displaystyle |CD|-|CA|$是否为定值。
【2023新高考I卷17】【2004全国II卷理17】已知锐角三角形 $\displaystyle ABC$ 中, $\displaystyle \sin(A+B) = \frac{3}{5}$, $\displaystyle \sin(A-B) = \frac{1}{5}$.设 $\displaystyle AB = 3$, 求 $\displaystyle AB$ 边上的高.
【2022全国乙卷理17】$\displaystyle \Delta ABC$中，已知$\displaystyle \sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$.
1. 证明：$\displaystyle 2a^2=b^2+c^2$；
若$\displaystyle a=5,\cos A=\frac{25}{31}$,求$\displaystyle \Delta ABC$的周长.

答案

（1）展开题述等式，有 $$\displaystyle \sin C(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$$ 由正弦定理，角化为边 $$\displaystyle ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$$ 移项，并用余弦定理 $$\displaystyle ac(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})+ab(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=2bc(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$$ 化简得到$\displaystyle 2a^2=b^2+c^2$.

（2）当$\displaystyle a=5,\cos A=25/31$时,由余弦定理$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$ 即$\displaystyle 25=b^2+c^2-\frac{50}{31}bc.$ 结合$\displaystyle b^2+c^2=2a^2=50$,可以解得$\displaystyle bc=\frac{31}{2}$,于是$\displaystyle (b+c)^2=81$，得到$\displaystyle b+c=9$，于是$\displaystyle \triangle ABC$的周长为$\displaystyle 14$.

【2022新高考I卷18】$\displaystyle \Delta ABC$中，已知$\displaystyle \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$.求$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}$的最小值.

答案

对等式的右侧变形 $$\displaystyle \frac{\sin2B}{1+\cos2B} =\frac{2\sin B\cos B}{2\cos^2B}=\frac{\sin B}{\cos B}.$$

于是$\displaystyle \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin B}{\cos B}$，对比例等式作交叉相乘，有 $$\displaystyle \cos A\cos B=\sin B+\sin A\sin B$$

从这里有$\displaystyle \cos (A+B)=\sin B$，即$\displaystyle \sin B+\cos C=0(*)$.由诱导公式，有$\displaystyle -\cos C=\sin(C-\frac{\pi}{2})$，于是$\displaystyle \sin B=\sin(C-\frac{\pi}{2})$，由此解得 $$\displaystyle B=C-\frac{\pi}{2}+2k_1\pi,\quad B+C-\frac{\pi}{2}=(2k_2+1)\pi,\quad k_1,k_2\in\mathbb{Z}$$

根据题意，只可能有$\displaystyle k_1=0$，于是$\displaystyle B=C-\frac{\pi}{2}$.故$\displaystyle A=\frac{3\pi}{2}-2C$，于是

\[\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}&=\frac{\sin^2 A+\sin^2B}{\sin^2C}=\frac{\sin^2(\frac{3\pi}{2}-2C)+\sin^2(C-\frac{\pi}{2})}{\sin^2C} &=\frac{\cos^22C+\cos^2C}{\sin^2C} &=\frac{4\sin^4C-5\sin^2C+2}{\sin^2C} &=4\sin^2C+\frac{2}{\sin^2C}-5\geqslant 4\sqrt{2}-5\]

当$\displaystyle 4\sin^2C=\frac{2}{\sin^2C}$，即$\displaystyle \sin C=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$时取到等号。

故$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}$的最小值为$\displaystyle 4\sqrt{2}-5$.

【2023温州一模18】锐角$\displaystyle \Delta ABC$中,已知$\displaystyle \frac{\sin(A-B)}{\cos B}=\frac{\sin(A-C)}{\cos C}$.
1. 求证$\displaystyle B=C$：
若$\displaystyle a\sin C=1$,求$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最大值.
$\displaystyle \Delta ABC$中，已知$\displaystyle 2\sin C=\sin(B-A)=2\sin A\sin C-\sin^2B$.
1. $\displaystyle \angle B$是否可能为直角？请说明理由.
若$\displaystyle \Delta ABC$为锐角三角形,求$\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}$的取值范围.
【2021新高考I卷19】$\displaystyle \Delta ABC$中,$\displaystyle b^2=ac$,点$\displaystyle D$在边$\displaystyle AC$上,$\displaystyle BD\sin\angle ABC=a\sin C$.若$\displaystyle AD=2DC$,求$\displaystyle \cos\angle ABC$.
在凸四边形 $\displaystyle ABCD$ 中,记 $\displaystyle AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$,四边形 $\displaystyle ABCD$ 的面积为 $\displaystyle S$.已知 $\displaystyle \angle B + \angle D = 180^\circ$.
1. 证明：$\displaystyle 2(ab+cd)\cos B = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$；
证明：$\displaystyle S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$,其中 $\displaystyle p = \frac{a+b+c+d}{2}$；
若 $\displaystyle b = c = d = 1$,求四边形 $\displaystyle ABCD$ 面积 $\displaystyle S$ 的最大值.
【2025“数海漫游二模”（网络联考）15】在$\displaystyle \Delta ABC$中,已知$\displaystyle \cos A=\frac{bc}{c^2-a^2}$.若$\displaystyle B=b=\frac{\pi}{4}$,求$\displaystyle \Delta ABC$的面积.

B 组习题

B组

1. **【2025新高考I卷11节选】**已知$\displaystyle A,B,C$是$\displaystyle \Delta ABC$的三个内角，若$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\sin C$，证明：$\displaystyle C=90^{\circ}$

【2026成都二诊14】在直角三角形$\displaystyle ABC$中,$\displaystyle AC=2,BC=1$,$\displaystyle D$为斜边$\displaystyle AB$上一点,$\displaystyle \triangle ACD$与$\displaystyle \triangle BCD$的内切圆面积相等,求$\displaystyle BD$.

5.3解三角形

讲义正文

解三角形

基本概念

A 组习题

习\(\displaystyle \quad\)题

B 组习题

C 组习题

D 组习题