4.2三角恒等变换
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讲义正文
三角恒等变换
A 组习题
本节习题
习题组I
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【2005北京5】对任意的锐角\(\displaystyle \alpha,\beta\)，下列不等关系中正确的是
（A）\(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)>\sin \alpha+\sin \beta\) （B）\(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)>\cos \alpha+\cos \beta\)
（C）\(\displaystyle \cos(\alpha+\beta)<\sin \alpha+\sin \beta\) （D）\(\displaystyle \cos(\alpha+\beta)<\cos \alpha+\cos \beta\) 2. 【2013重庆理9】化简\(\displaystyle 4\cos 50^\circ - \tan 40^\circ\)。 3. 【2023安徽六校联考9】化简\(\displaystyle (\sin5^{\circ}+\cos5^{\circ})(1+\sqrt{3}\tan10^{\circ})\)。 4. 【2015重庆理9】已知 \(\displaystyle \tan\alpha=2\tan\frac{\pi}{5}\), 化简 \(\displaystyle \frac{\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{5}\right)}\)。 5. 已知\(\displaystyle \sin(\tan80^\circ-\sqrt{5})=\sin80^\circ\)，\(\displaystyle \alpha\)为锐角，化简\(\displaystyle \sin(\alpha+30^\circ)\)。
**【2025“漫游数海”回归课本联赛6】**已知$\displaystyle \cos (x+\frac{\pi}{4})=\frac{3}{5},\frac{\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{4}$，求$\displaystyle \frac{\sin 2x+2\sin^2 x}{1-\tan x}$。- 【2025合肥二模6】已知\(\displaystyle \frac{\tan\theta\tan2\theta}{\tan \theta-\tan2\theta}=\frac{4}{5}\)，求\(\displaystyle \sin^4\theta+cos^4\theta\)。
- 【2024福建省质检8】已知\(\displaystyle \sqrt{6}\tan(\alpha +\frac{\pi}{4})\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=1\)，求\(\displaystyle \sin2\alpha\)。
- 【温州学考模拟10】已知\(\displaystyle \tan(x+y)=2,\tan(x-y)=3\)，求\(\displaystyle \frac{\tan2x}{\tan2y}\)。
- 【2022广州零模5】若\(\displaystyle \alpha,\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，且\(\displaystyle (1-\cos2\alpha)(1+\sin\beta)=\sin2\alpha\cos\beta\)，则
（A）\(\displaystyle 2\alpha+\beta=\frac{5\pi}{2}\)（B）\(\displaystyle 2\alpha-\beta=\frac{3\pi}{4}\)（C）\(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{7\pi}{4}\)（D）\(\displaystyle \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}\) 10. 已知\(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{3},\cos(\alpha-\beta)=\frac{2}{3}\)，则\(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\frac{\cos\beta}{\sin\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\beta}+\frac{\sin\beta}{\cos\alpha}=\)？ 11. 已知\(\displaystyle \sqrt{6}\tan(\alpha+\frac{\pi}{6})\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=1\),则\(\displaystyle \sin2\alpha=\) 12. 已知\(\displaystyle \alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2})\),\(\displaystyle 2(\sin\beta+\sin^2\beta)=\frac{\sin^2\beta}{\tan\alpha}\),则\(\displaystyle \tan(2\alpha+\beta+\frac{\pi}{6})=\) 13. 若\(\displaystyle \tan\alpha=2\tan\frac{\pi}{5}\)，则\(\displaystyle \frac{\cos(\alpha-\frac{3\pi}{10})}{\sin(\alpha-\frac{\pi}{5})}=\)？ 14. 【2025辽宁鞍山第一中学高三联考7】已知\(\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\frac{2}{3},\cos(\alpha+\beta)=\frac{3}{4}\)，则\(\displaystyle \sin2\alpha\sin2\beta=\)？ 15. 已知\(\displaystyle \alpha,\beta\in(0,\pi)\)，且\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{\cos2\beta-1}{\sin2\beta}=2\)，则\(\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\)？ 16. 【2015江苏14】 设向量 \(\displaystyle \vv{a}_k=\left(\cos\frac{k\pi}{6},\sin\frac{k\pi}{6}+\cos\frac{k\pi}{6}\right)\ (k=0,1,2,\cdots,12)\), 则 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{11}(\vv{a}_k\cdot\vv{a}_{k+1})\) 的值为？ 17. 已知\(\displaystyle x,y\in\mathbb{R}\)，证明：\(\displaystyle \sin ^2x-\sin^2y=\sin(x-y)\sin(x+y)\) 18. 【1986全国卷理16】已知\(\displaystyle \sin \theta-\cos\theta=\frac{1}{2}\)，求\(\displaystyle \sin^3\theta-\cos^3\theta\)的值。 19. 【1987全国卷理16】求\(\displaystyle \sin 10^{\circ}\sin 30^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)的值。 20. 【1989全国卷文20】证明：\(\displaystyle \tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}=\frac{2\sin x}{\cos x+\cos 2x}\) 21. 【2010上海理19】已知 \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\), 化简: \(\displaystyle \lg\left(\cos x \cdot \tan x +1-2\sin^2\frac{x}{2}\right)+\lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]-\lg(1+\sin 2x)\).