Chapter0：写在前面的话

前\(\displaystyle \quad\)言

1. 本书习题分为A组、B组、C组、D组四类。 1. A组：最为基础，侧重概念的理解与基本功的培养；
   1. B组：部分略带技巧，但仍侧重基本能力与思维的训练；
   2. C组：较难，应用面较窄，在学生达到A、B两组所要求的水平后可略做尝试，切忌舍本逐末；
   3. D组：拓展习题，供有兴趣的读者进一步思考与研究。 注：对于部分有多个小问的习题，将注明每个小问所属组别。
2. 对于和“解三角形”相关的习题，不再重复声明“在\(\displaystyle \Delta ABC\)中，记内角\(\displaystyle A,B,C\)所对的边分别为\(\displaystyle a,b,c\)”。
3. 对于和“概率与统计”相关的习题，所需信息如独立性检验的\(\displaystyle \chi^2\)分布表、最小二乘法、样本相关系数公式、正态分布相关数据可参考正文，不再重复给出。

从守财奴想到守知奴

陶行知

社会里有一种人叫做守财奴。这种人的唯一的嗜好是把金子银子弄到自己的腰包里来，腰包装满了，藏到皮箱里去；皮箱藏满了，埋到地下去。他唯一的遗憾是棺材太小。虽然小，还是要拼命的装。带得多少钱多少去，是他不得已的苦衷。当他活着的时候，肚子总是大大的。他的肚子比人大，固然是平日保养得好，其实另一原因是那腰包点水不漏，纵然看见一个人冻得要命，饿得要死，他是一个钱也不肯花。

这个大胆的怪物，只要提起他的名字，人都知道，而且看不起他，不屑跟他学。有志的青年谁愿做守财奴呀？只是要留神，还有大头鬼在那儿等着您呢！

这些大头鬼会用一种漆黑的东西灌在您的脑袋里去，不给他流出来，久而久之，您的头就渐渐的大了。这种漆黑的东西据说是乌金------字值千金。灌头礼是在所谓之学校里举行。因此，您一进小学，头就觉得大了一些；进了中学，更大一些；进了大学，更大一些；如果您还嫌不够大，可以出洋，再给外洋大头鬼灌一会儿回来，那末您在中国的大头鬼中可算是一个大王了。那时，您看大家的头都比您小，好不开心！可是，您要知道，开心虽是开心，鬼终是一个鬼。

那漆黑的东西，只进不出，把您的心肝都染黑了。在小头人的群众中做一个黑心的大头鬼，是真的开心吗？

这种大头鬼，我给他取了一个新名字，叫做守知奴。守知奴的名词虽然出炉不久，但是守知奴这种怪物是从人类发现知识的第一天就出世了。他把知识占为私有。他把知识当做传家宝。他把知识当做古董藏着。他把知识当做商品卖。他把知识变成神秘的符而自做教主。他把知识变成愚民的工具而自做国王或军师。于是您要想得到知识，必得做他的儿子（女儿还不行），做他的信徒，做他的学生，做他的主顾，做他的王！做儿子不能由您作主，做王便要问您有没有这本领。做信徒、学生、主顾都得拿钱来！没有钱休想得知识！现在的留学生，是大众花钱给他出风头的，当他风头出得起劲的时候，劝他每天花几分钟数几个不能上学的大众的苦孩子，他会回您一个"没有工夫"！真的没有工夫吗？给他三百块钱的薪水，就会有工夫了。

守知奴是个怪物而大家不以为怪，那才是一件可怪的事啊。这种怪物本是害人的，大家不想收服他们，反而恭敬他们，羡慕他们，不惜费尽大众血汗钱，大批的一群一群的栽培他们，那是更加奇怪了。我们培养人才的经验，连家庭供给算在内，每年不下十万万。所造就的是什么？是一千多万不肯教人的守知奴！

我也曾经在守知奴的队伍里站过班。骂人是连自己一起骂。我既觉悟到做守知奴是一件可耻的事，便该老实不客气地说出来。中国人愚，大概是不能否认的事实。因为士大夫的新代表胡适之已经把这个"愚"字列为五鬼之一，那大概是没有人反对了。可是我要向大家建议：愚人便是守知奴一手造成的，我们应该认清。所以要叫中国人聪明起来，非收服守知奴不可。我有四条办法：

（一）大家要自取知识，一取得便立刻教人，不再借重守知奴；

（二）凡有知识的都要教人，不做守知奴；

（三）学生要学教人，不再做守知奴；

（四）教师要教学生教人，不再做守知奴的妈妈。

这文章已讲了我的一些心里话了，我撰写此书，是希望这一点思想不至于同我一起进了棺材。人们希望得到好的教育，但最终是想一人独占，还是散播出来，让大家都能受其润泽，这不好说。当然，倘若你去问人家，为了一个好的形象，他大抵会回复后者。

有人怨道教育之不公，他希望所谓贵人、时运、转机能青睐于他，若果真如愿以偿，这时他又无心顾及周遭挣扎的人了，甚至生出鄙夷：“你们也太不中用！”，夸耀这一切都是自己亲手赚来的，自我生出的教育，若是给了这样的人，那我真是罪不可恕。然而，改变根生蒂固的思想谈何容易？陶先生主张的“即知即传”，在现今学校几乎绝迹，甚至成了滑稽的异类，人们为了一己私利可以毫不客气地从它身上揩油，一面享受着不费吹灰之力得到的好处，一面又挑三拣四，若是要他为这事业出一分力时，那就捅了马蜂窝！他定要理直气壮的怒斥：“凭什么？我得了你什么好处，能如此命令我？”，他当初受这教育时就认为是自己应得的，可以说，绝大多数学生也认为这一怒再合理不过了，那么无偿之教育反而不合理了？倒也不，因人们还需从中榨取自己满意的事物，但也是“近之不逊，远之则怨”。

“我肥天下瘦，我智天下愚。”已失去其讽刺效用，有时，人们借此夸耀自己，或是借那些比较中的优胜者当枪来扫除异己，为自我森严之等级观张目。要当“人上人”，学校这么教，让学生扯着嗓子喊，家庭、社会亦是如此之熏陶。这时，教育不仅没起到克服人之劣根，以求高尚的作用，反是助纣为虐，用庸俗、势利、自私来玷污思想，扭曲心灵。

人是容易忘却的，尤其是对于痛苦之事，这一忘却对自己来讲好得不得了，但对后人却是极为有害的，有时的忘却反倒是把这一痛苦等同地、数倍地传下去。被虐待的儿媳忘了曾经所受的羞辱与嘲弄，她做婆婆时仍然要虐待儿媳；嫌恶学生的管理，每是先前痛骂官吏的学生；现在压迫子女的，有时也就是十年前的家庭革命者。

既然不能忘却，背负痛苦又何其艰难？

我能力低微，但为把你教导好，也只能仓促成书，因此本书绝大部分条目的编写都未经严格的推敲与审查，错误百出也是常态，只能如此妥协了。

本书主讲高考考纲要求的部分，增加了部分课外拓展内容，我希望学生除了完成应试备考，在面对新的数学现象，数学问题时也能具备足够的兴趣与激情。

鲁迅的风格是“避轻就重”的，他总要问“之后如何？”——“挪拉走后如何？”，“黄金世界之后如何？”，甚至是“死后如何？”。我也要问“高考后如何？”，“未来如何？”十年、二十年之后，一切技巧知识都被忘却的时候，数学教育真正给人留下了什么？或者说，好的数学教育真正给学生赠予了什么？坏的数学教育又会夺走学生什么？这就由读者自行评判了。

“好的数学”一定是可以彰显个人风格、性情的，彼此风格迥异，方有“八音合奏”。倘学生毫无主见、被牵着鼻子走，那就不是学数学，是"背数学"，成了数学的奴隶了。

怎样进行数学训练？

人在出生时并不拥有现成的、成熟的数学能力系统，他所携带的主要是一些会影响后续学习的初始条件与约束，例如数量表征、注意控制、工作记忆、处理速度以及更一般的神经发育差异。真正可调用、可迁移、可扩展的数学能力，并不是先天完成的成品，而是在这些初始条件之上，通过长期训练逐步组织和建成的。先天差异会影响一个人进入训练时的起点、节奏、难度和上限区间，但训练才是把这些初始条件转化为稳定能力结构的主要机制。也正因如此，问题应被理解为：在既定的生物学与认知约束下，一个人的数学能力究竟能被组织到什么程度，主要取决于他是否经历了高质量的训练。对于绝大多数人来说，更科学、更有效的训练通常都能够使其数学能力在原有基础上得到明显提升；只是不同个体的提升速度、成本和最终达到的层次并不相同。

数学训练可以被抽象为： $\(\displaystyle \text{明确问题}\to \text{尝试解决}\to \text{暴露具体问题}\to \text{解决具体问题并验证}\to \text{复盘}\)$

1. 问题是什么？我要达到一个怎样的目的？
2. 我的策略和思路是什么？
3. 具体描述在想要达到目的的过程中遇到了什么困难？
4. 我还有办法或者经验能克服或者绕过这样的困难吗？哪怕一点线索、思路，一定要主动再尝试一下，直到再也没有新的、可以用来克服上述困难的思路出现为止。这时就不必硬想，可以尝试借助外部力量，因为你已经靠自己把值得暴露的问题尽可能地暴露出来了。
5. 阅读理解参考答案并回答：参考解答或证明中的具体过程是怎样的？抽象概括一下。这是训练的又一个关键，真正有价值的外部帮助通常都不只是把标准答案从头到尾完整铺开，而是帮助学习者逐步回答他上一步提出的这些问题。
6. 参考解答或者证明中，有没有什么关键想法，思路或步骤可以克服你之前尝试中遇到的困难？如果有，它为什么能够奏效，而我原先的思路为什么做不到这一点？如果先前接触过，试思考自己为何会忽略这一思考方向。我为什么会忽略某个结构、条件或突破口；在对这些结构和条件的理解上，我到底缺失了哪些必要的信息。
7. 我的方法为什么显得笨拙；与更好的方法相比，它们各自的优势、劣势以及适用范围分别是什么。
8. 找几个变体的或相关的问题，对照刚才白纸黑字写下的回答，尝试解决这些问题。如果不顺利，说明回答得不好，需要结合当前问题及参考解答退回到第5步，直到可以较为顺畅地解决第7步中的类似问题。

9. 总结收获，并通过写作的方式记录，只写自己的理解，领悟或补充，如果书籍、讲义或文章中已有完全相同的内容，这一部分可以简略或省略书写。

   必须论证自己的理解是合理且有根据的，能完全理解每一步的来龙去脉，并自发地做出推广与联系。

   需要持续修改笔记。老子讲：“为学日益，为道日损。”我们一方面修正自己的错误，不断补充新的案例与想法，另一方面，随着学习与实践的深入，我们也不断提炼本质，压缩信息。

   如果做完一个题目，看完一部分资料并自认为理解了全部，那么结果只有两种情况： 1. 能对此写点什么东西。 2. 把它归类整合到一个旧的笔记上。 如果这两种情况都不是，那么这个题目或者书根本没看懂。

问题是数学的心脏，一个优秀的问题，往往通过不同的形式、线索和困难引导学习者发现更深层的结构，逐步形成对某类问题的抽象归纳、想法、策略、不同方法的评价准则甚至是全新的观察数学的视角。这并不能通过简单积累题量达到，往往要经历螺旋式的上升。

好的问题益处极大，坏的问题害处极大，好的问题特点如下：

1. 具有必要的困难：一个问题如果对学习者完全没有产生阻力，那么他也无法从中获得新的认识。\footnote{学生常给自己设定一个目标：每天或每周刷多少题，多少卷子，刷得越多，心里越踏实，甚至“一天不刷卷，心里就发慌”，终日碌碌而不知所获，实际上绝大部分题目的方法他都知晓，只是在机械练习，以求能做得快、做得准。这种只顾死做题、做得多、做得快是毫无益处甚至大有害处的。}
2. 隐藏了更大的结构：一个好的问题应成为通向更深层数学结构的入口，揭示不同对象之间潜在的联系。
3. 允许多个层次的进入：一个好的问题应使不同阶段的学习者都能从中获得新的认识。
4. 应当产生新的问题：一个好的问题不应随着答案的得到而终结，而应成为产生新问题的起点。
5. 有助于改变观察方式：数学能力的提升不仅仅意味着掌握更多知识，还有看待问题方式的改变。如果一个问题可以使学习者获得新的观察角度，使原本分散的知识得到统一，那么它就真正发挥了教育价值。

王国维的《人间词话》中最有名的一段话是：

古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。”此第一境也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”此第二境也。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。”此第三境也。

这谈的是治学或是人生追求的三个境界，我们讲数学也有三个境界。

第一重：数学形式相似：

第二重：数学结构相似：

第三重：数学直觉相似：

规定与记号

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\(\displaystyle \min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)	取 \(\displaystyle x_1, x_2, \ldots, x_n\) 中的较小值。
\(\displaystyle \max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)	取 \(\displaystyle x_1, x_2, \ldots, x_n\) 中的较大值。
\(\displaystyle \lceil x\rceil\)	不小于\(\displaystyle x\)的最小整数。
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor, [x]\)	不大于\(\displaystyle x\)的最大整数